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Badr Baher 9126201 881
Im Abschnitt 8.4.5 wurde die Verbindung hergestellt zwischen den linearen Abbildung (Funktionen)
Ym und den Matrizen als Koordinaten der Bilder von Basisvektoren
des Xn . Alle Matrizen, die eine gegebene lineare Abbildung hinsichtlich irgendwelcher Basen darstellen, kann man in einer Äquivalenzklasse zusammen fassen.
Äquivalenz von Matrizen: zwei mn-Matrizen A und B sind Äquivalent, wenn es reguläre Matrizen R und T mit B=RAT gibt.Wenn es zwei Orthogonale Matrizen U und V mit B=UT AV gibt, so nennt man A und B orthogonal-äquivalent.
Singulärvektoren: Die Matrix U besteht aus den orthonormierten Eigenvektoren u1,...,um von AAT , die man Linkssingulärvektoren von A nennt, und die Matrix V aus den orthonormierten Eigenvektoren v1,...,vn von AT A, den Rechtssingulärvektoren von A.
Singulärwerte:
Die Diagonalelemente 1,...,k der zu A orthogonal-äquivalenten Diagonalmatrix S nennt die Singulärwerte der Matrix A.
Aus der Singulärwertzerlegung
läßt sich sehr viel über die Struktur der von einer Matrix ARnn dargestellt linearen Abbildung unmittelbar ablesen. So erhält.
Verbindungsraum, direkte Summe:
Für zwei Unterräume S1 und S2 des Rn bezeichnet man den Unterraum
als Verbindungsraum; wenn zusätzlich S1 S2={0} gilt, so bezeichnet man den Verbindungsraum
als direkte Summe von S1 und S2 .
kann eindeutig in der Form
zerlegt werden. Der Vektor vi heißt die orthogonale Projektion von v auf den Unterraum
.
Für eine lineare Abbildung A: U W gilt:
.
Alle Vektoren uU und wW können daher durch
.
in eindeutiger Weise in orthogonale Komponenten (siehe Abbildung) zerlegt werden. uA ist die orthogonale Projektion von u auf
.
Die entsprechende Projektionsabbildung wird mit
.
bezeichnet. Analog stellt
die Projektion auf den Bildraum von A dar.
Jede Abbildung A läßt sich als zusammengesetzte Abbildung
darstellen, wobei 
die Einschränkung
von A auf 
ist:
Die Abbildung 
ist Injektiv und besitzt daher eine Inverse
mit deren Hilfe man eine neue Abbildung definieren kann, die zu einer Verallgemeinerung der Inversen einer Matrix führt.
Verallgemeinerte Inverse, Pseudo-Inverse :Durch
wird die zusammengesetzte Abbildung
festgelegt, die man verallgemeinerte Inverse oder Pseudo-Inverse A+ von A nennt.
Die so definierte Pseudo-Inverse ist eindeutig bestimmt und erfüllt die folgenden vier Beziehungen:
die sogenannten Moore-Penrose-Bedingungen. Aus (13,22) und (8.24) folgt
und aus (8.23) und (8.25)
.
Ist ARnn regulär, so sind die Projektionen
und 
identische Abbildungen und es gilt
Mit Hilfe der verallgemeinerten Inversen kann man sämtliche Fälle, die bei der Lösung inhomogener linearer Gleichungssysteme Ax =b mit b#0 und ARnn auftreten können, in völlig einheitlicher Weise behandeln.
Reguläre Matrix
Ist ARnn eine reguläre Matrix, d.h. gilt rang(A)=n, so folgt aus A+= A-1 die Lösung
x0= A-1b
des Gleicchungssystems Ax =b. Die praktisch-algorithmische Ermittlung der Lösung, die man aus Effizienzgründen nicht mit Hilfe von A-1, sonders mit geeigneten Faktorisierungen von A vornimmt, wird in späteren Abschnitten behandelt; ebenso jene Fälle, wo A zwar regulär, aber schlecht konditioniert ist .
Singuläre Matrix
Ist ARnn eine singuläre Matrix mit rang(A)=k <n, so müssen zwei Fälle unterschieden werden.
Fall 1: 
In diesem Fall ist der Vektor 
Lösung des Gleichungssystems,
aber auch jeder Vektor
mit
.
Das Gleichungssystem 
hat in diesem Fall die Lösungsmannigfaltigkeit
wobei die Spaltenvktoren von
eine Basis des Nullraums
N(A) der Matrix A darstellen.
Fall 2: 
Wenn man den Vektor b nicht als Linearkombination der Spaltenvektoren
von A darstellen kann, so ist ein widersprüchliches
System..Es gibt in diesem Fall keinen Vektor 
, für den
gilt, das Gleichungsystem ist also nicht lösbar.
Lösung homogener Gleichungssysteme:
Falls die rechte Seite eines linearen Gleichungssysteme der Nullvektor ist, handelt es sich um ein homogenes Gleichungssystem
das für eine Matrix ARnn von allem Rang nur triviale Lösung x=0, für eine singuläre Matrix mit rang(A)=k<n hingegen einen (n-k)-dimensionalen Unterraum N(A) des Rn - den Nullraum von A- als Lösungsmannigfaltigkeit besitzt.
Eine orthogonale Basis des
(n-k)-dimensionalen Lösungsraums N(A) erhält man aus
der Singulärwertzerlegung 
. Mit
und
gilt 
,
d.h. 
für 
;
die den Singulärwerten 
zugeordneten Spaltenvektoren 
von V
sind die gesuchte orthogonale Basis des Nullraums N(A).
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