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Inhaltsverzeichnis Kapitel 8.8 Kondition linearer Gleichungssysteme

Inhaltsverzeichnis Kapitel 8.9 Auswirkungen von Störungen auf lineare Gleichungssysteme


8.8 Kondition Linearer Gleichungssysteme

Bei der numerischen Lösung eines linearen Gleichungssystems ergeben sich , selbst bei Lösung mit Hilfe genauer Methoden , einige Ursachen für die Ungenauigkeit der Lösung . Eine von ihnen besteht in der Notwendigkeit , im Verlauf der Rechnung die Zahlen ab- oder aufzurunden , Dabei kann nach Subtraktion von zwei eng benachbarten Größen ein Schwund an geltenden Ziffern eintreten . Der Schwund an geltenden Ziffern kann unter Umständen die Genauigkeit des Ergebnisses so bedeutend verringern , daß man gezwungen ist , das Rechenschema zu ändern oder die Zwischenrechnungen mit einer größeren Anzahl geltender Ziffern durchzuführen .

Eine zweite Fehlerquelle stellt sich beispielsweise bei einem System linearer Gleichungen ein , das aus der theoretischen Behandlung einer technischen Aufgabe folgt ; sowohl die Elemente der Matrix als auch die freien Glieder sind nur Näherungsweise mit einer gewissen Genauigkeiten bekannt . Die Ungenauigkeit der Ausgangsdaten ruft Ungenauigkeiten in der Lösung hervor , denn eine in den Grenzen der gegebenen Genauigkeit erfolgende Änderung der Koeffizienten zieht natürlich eine entsprechende Änderung der Lösung nach sich .

Nun werden wir uns ausführlich mit der Untersuchung der wichtigsten Fehlerquellen bei der Lösung eines Gleichungssystems befassen .
Dies sind :

8.8.1 Konditionszahl einer regulären Matrix

Definition : Unter der Konditionszahl cond(A) oder k(A) einer regulären quadratischen Matrix A versteht man die Größe

cond(A) = k(A) := ||A|| ||A-1||.

Führt man weiters die Bezeichnung

für die relativen Fehler von A und b ein , so schreibt sich die Fehlerabschätzung als

In erster Näherung gilt daher : Die relativen Datenfehler von A und von b wirken sich durch den Faktor cond(A) verstärkt auf das Resultat des gestörten Gleichungssystems aus . Hat die Matrix A eine Größe Konditionszahl cond(A) , so ist das lineare Gleichungssystem Ax = b schlecht konditioniert .

( wir nennen eine Matrix schlecht konditioniert , wenn die zugehörige inverse Matrix instabil ist ).

8.8.2 Konditionszahl einer allgemeinen Matrix

Unter der Konditionszahl cond(A) oder k(A) einer rechteckigen Matrix A versteht man die Größe

cond(A) = k(A) := ||A|| ||A+||.

Für reguläre Matrizen gilt bA = b und daher ||b|| / ||bA || = 1 .

Für singuläre Matrizen , also rang(A) < n , spielt auch der Faktor ||b|| / ||bA || eine wichtige Rolle .Seine geometrische Bedeutung kann man aus der Beziehung

,

die sich mit Hilfe der Singulärwertzerlegung von A herleiten läßt , erkennen .

8.8.3 Konditionszahl einer rechten Seite

Unter der Konditionszahl der rechten Seite bR m bezüglich eines linearen Gleichungssystems mit der Matrix ARm*n versteht man die Größe

Im günstigsten Fall ist cond(b;A) = 1 ,was einem bR(A) entspricht .


8.9 Auswirkung von Störungen auf lineare Gleichungssysteme

In diesem Kapitel werden wir die Auswirkungen von Datenstörungen von A

( Matrix ) oder b ( rechte Seite) eines linearen Gleichungssystems untersuchen .

8.9.1 Auswirkungen einer gestörten Matrix

Im Fall einer gestörten Matrix und einer ungestörten rechten Seite

müssen drei Fälle unterschieden werden . Je nach dem , ob die Störung

  • 1) den Rang unverändert läßt
  • 2) den Rang vergrößert
  • 3) den Rang verkleinert
    sind unterschiedliche Auswirkungen zu verzeichnen.

    8.9.2 Auswirkungen einer gestörten rechten Seite

    Im Fall einer ungestörten Matrix aber einer gestörten rechten Seite , liegt folgende Situation vor :

    Aus der Definition der Störung der Lösung folgt

    und daher folgt

    Diese Abschätzung des absoluten Fehlers zeigt , daß bereits eine kleine Änderung der rechten Seite b zu einer großen Änderung der Lösung x0 führen kann , wenn der Verstärkungsfaktor groß ist .

    Störung läßt den Rang unverändert

    Falls rang(A+) = rang(A) bzw. die dazu äquivalenten Bedingungen

    gelten, so erhält man für den relativen Fehler Qx folgende Abschätzung

    wobei

    die relative Störung der Matrix A charakterisiert .

    Störung vergrößert den Rang

    Gilt rang(A+) > rang(A) , so gilt die Abschätzung

    und schließlich

    woraus der unstetige Zusammenhang zwischen A und A+ folgt.

    Störung verkleinert den Rang

    Falls rang(A+) <= rang(A) und ist , so gilt :

    d.h.,in diesem Fall hängt A+ stetig von A ab . Eine Rangverkleinerung ist also unkritisch im Vergleich zu einer Rangvergrößerung.


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