8.8 Kondition Linearer Gleichungssysteme

Bei der numerischen Lösung eines linearen Gleichungssystems ergeben sich , selbst bei Lösung mit Hilfe genauer Methoden , einige Ursachen für die Ungenauigkeit der Lösung . Eine von ihnen besteht in der Notwendigkeit , im Verlauf der Rechnung die Zahlen ab- oder aufzurunden , Dabei kann nach Subtraktion von zwei eng benachbarten Größen ein Schwund an geltenden Ziffern eintreten . Der Schwund an geltenden Ziffern kann unter Umständen die Genauigkeit des Ergebnisses so bedeutend verringern , daß man gezwungen ist , das Rechenschema zu ändern oder die Zwischenrechnungen mit einer größeren Anzahl geltender Ziffern durchzuführen .

Eine zweite Fehlerquelle stellt sich beispielsweise bei einem System linearer Gleichungen ein , das aus der theoretischen Behandlung einer technischen Aufgabe folgt ; sowohl die Elemente der Matrix als auch die freien Glieder sind nur Näherungsweise mit einer gewissen Genauigkeiten bekannt . Die Ungenauigkeit der Ausgangsdaten ruft Ungenauigkeiten in der Lösung hervor , denn eine in den Grenzen der gegebenen Genauigkeit erfolgende Änderung der Koeffizienten zieht natürlich eine entsprechende Änderung der Lösung nach sich .

Nun werden wir uns ausführlich mit der Untersuchung der wichtigsten Fehlerquellen bei der Lösung eines Gleichungssystems befassen .
Dies sind :

Konditionszahl einer regulären Matrix
Konditionszahl einer allgemeinen Matrix
Konditionszahl einer rechten Seite

8.8.1 Konditionszahl einer regulären Matrix

Definition : Unter der Konditionszahl cond(A) oder k(A) einer regulären quadratischen Matrix A versteht man die Größe

cond(A) = k(A) := ||A|| ||A^-1||.

Führt man weiters die Bezeichnung

für die relativen Fehler von A und b ein , so schreibt sich die Fehlerabschätzung als

In erster Näherung gilt daher : Die relativen Datenfehler von A und von b wirken sich durch den Faktor cond(A) verstärkt auf das Resultat des gestörten Gleichungssystems aus . Hat die Matrix A eine Größe Konditionszahl cond(A) , so ist das lineare Gleichungssystem Ax = b schlecht konditioniert .

( wir nennen eine Matrix schlecht konditioniert , wenn die zugehörige inverse Matrix instabil ist ).

8.8.2 Konditionszahl einer allgemeinen Matrix

Unter der Konditionszahl cond(A) oder k(A) einer rechteckigen Matrix A versteht man die Größe

cond(A) = k(A) := ||A|| ||A⁺||.

Für reguläre Matrizen gilt b_A = b und daher ||b|| / ||b_A || = 1 .

Für singuläre Matrizen , also rang(A) < n , spielt auch der Faktor ||b|| / ||b_A || eine wichtige Rolle .Seine geometrische Bedeutung kann man aus der Beziehung

die sich mit Hilfe der Singulärwertzerlegung von A herleiten läßt , erkennen .

8.8.3 Konditionszahl einer rechten Seite

Unter der Konditionszahl der rechten Seite bR ^m bezüglich eines linearen Gleichungssystems mit der Matrix AR^m*nversteht man die Größe

Im günstigsten Fall ist cond(b;A) = 1 ,was einem bR(A) entspricht .

8.9 Auswirkung von Störungen auf lineare Gleichungssysteme

In diesem Kapitel werden wir die Auswirkungen von Datenstörungen von A

( Matrix ) oder b ( rechte Seite) eines linearen Gleichungssystems untersuchen .

Auswirkungen einer gestörten Matrix
Auswirkungen einer gestörten rechten Seite

8.9.1 Auswirkungen einer gestörten Matrix

Im Fall einer gestörten Matrix und einer ungestörten rechten Seite

müssen drei Fälle unterschieden werden . Je nach dem , ob die Störung

1) den Rang unverändert läßt

2) den Rang vergrößert

3) den Rang verkleinert
sind unterschiedliche Auswirkungen zu verzeichnen.

8.9.2 Auswirkungen einer gestörten rechten Seite

Im Fall einer ungestörten Matrix aber einer gestörten rechten Seite , liegt folgende Situation vor :

Aus der Definition der Störung der Lösung folgt

und daher folgt

Diese Abschätzung des absoluten Fehlers zeigt , daß bereits eine kleine Änderung der rechten Seite b zu einer großen Änderung der Lösung x₀ führen kann , wenn der Verstärkungsfaktor groß ist .