[ < ]
[ globale Übersicht ]
[ Kapitelübersicht ]
[ Stichwortsuche ]
[ > ]
Inhaltsverzeichnis Kapitel 7.4.4 Interpolatorische Quadraturformeln
7.4.4.1 Allgemeines
Definition: Interpolatorische Quadraturformel
Fehlerabschätzung
Definition: Beschleunigungsalgorithmus
Lineare Transformation von Quadraturformeln
7.4.4 Interpolatorische Quadraturformeln
Man erhält eine interpolatorische Quadraturformel dadurch, daß man die Funktion f(x) im Intervall [a,b] durch ein Interpolationspolynom
ersetzt und dieses dann integriert. Zur Herleitung eines Interpolationspolynoms wird das Intervall wiederum in N Teilintervalle
mit den Stützstellen a = x1 < x2 < ... < xN < xN+1 = b unterteilt. An den Stützstellen sind die
Funktionswerte f(xi) bekannt. Mit Hilfe der Lagrangeschen Elementarpolynome
läßt sich nun das Interpolationspolynom PN-1(x) folgendermaßen festlegen
,
wobei
ist. Berechnet man nun das Integral des Polynoms PN-1
so erhält man mit den von der Funktion f(x) unabhängigen Integrationsgewichten
die Quadraturformel
Definition (Interpolatorische Quadraturformeln):
Alle Quadraturformeln, die man auf diese Art erhält und die man als Integral eines
Interpolationspolynoms von f an den Quadraturabszissen auffassen kann, nennt man interpolatorische
Quadraturformeln.
Der bei dieser Methode auftretende Verfahrensfehler läßt sich durch den
Approximationsfehler PN-1-f abschätzen:
Um nun den Approximationsfehler eN-1(f) geringer als einen vorgegebenen Wert werden zu lassen,
gibt es nun folgende zwei Möglichkeiten:
- Die Erhöhung des Polynomgrades (einfache interpolatorische Quadraturformeln) oder
- die Verwendung mehrerer Teilpolynome bei gleichbleibendem Polynomgrad (zusammengesetzte Quadraturformeln).
Eine erneute Fehlerabschätzung kann dann auf unterschiedliche Methoden erfolgen.
Weitere Möglichkeiten zur Erstellung Interpolatorischer Quadraturformeln:
Beschleunigungsalgorithmus
Definition (Beschleunigungsalgorithmus):
Jedes Verfahren, das durch eine geeignete Umformung einer konvergenten Folge {QN} eine
schneller konvergierende Folge {Q'N} liefert, nennt man Beschleunigungsalgorithmus.
Ein geeignetes Verfahren um einen Beschleunigungsalgorithmus zu erstellen, ist unter anderem die Kenntnis von der
Fehlerstruktur einer bekannten Quadraturformel.
Wenn man zum Beispiel weiß, daß sich der Fehler einer bestehenden Quadraturformel indirekt proportional zu einer
Erhöhung der Stützstellenzahl verändert, so kann man ein lineares Gleichungssystem aufstellen ([Quadraturformel 1 mit x Stützstellen] - If = [Fehler 1],
[Quadraturformel 2 mit 2x Stützstellen] - If = [Fehler 2]). Durch geeignete Umformungen kommt man wieder auf eine Form
bei der QN der neuen Quadraturformel entspricht.
Bei der linearen Transformation von Quadraturformeln geht man davon aus, daß die bekannten Quadraturformeln
nur für spezielle Integrationsintervalle spezifiziert sind. Um nun eine solche Formel auf ein anderes Intervall
anwenden zu können, muß sie erst einmal geeignet transformiert (z.B. Transformation des
Integrationsbereiches) werden. Durch diese Transformation entsteht eine neue Quadraturformel für einen neuen
Intervallbereich.
[ < ]
[ globale Übersicht ]
[ Kapitelübersicht ]
[ Stichwortsuche ]
[ > ]