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Inhaltsverzeichnis Kapitel 7.4.4 Interpolatorische Quadraturformeln


7.4.4.1 Allgemeines

  • Definition: Interpolatorische Quadraturformel
  • Fehlerabschätzung
  • Definition: Beschleunigungsalgorithmus
  • Lineare Transformation von Quadraturformeln

  • 7.4.4 Interpolatorische Quadraturformeln

    7.4.4.1 Allgemeines:

    Man erhält eine interpolatorische Quadraturformel dadurch, daß man die Funktion f(x) im Intervall [a,b] durch ein Interpolationspolynom ersetzt und dieses dann integriert. Zur Herleitung eines Interpolationspolynoms wird das Intervall wiederum in N Teilintervalle mit den Stützstellen a = x1 < x2 < ... < xN < xN+1 = b unterteilt. An den Stützstellen sind die Funktionswerte f(xi) bekannt. Mit Hilfe der Lagrangeschen Elementarpolynome
    $\varphi _{N-1,i}(x)\,:=\prod\limits\Sb j=1 \\ j\neq i\endSb^N\frac{x-x_j}{x_i-x_j}$
    läßt sich nun das Interpolationspolynom PN-1(x) folgendermaßen festlegen
    $P_{N-1}(x)=\sum\limits_{i=1}^Nf(x_i)\varphi _{N-1,i}(x)$,

    wobei
    $P_{N-1}(x_i)=f(x_i),\quad i=1,2,...,N$

    ist. Berechnet man nun das Integral des Polynoms PN-1
    $IP_{N-1}=\int\limits_a^bP_{N-1}(x)dx=\sum\limits_{i=1}^Nf(x_i)\int\limits_a^b\varphi_{N-1,i}(x)dx$

    so erhält man mit den von der Funktion f(x) unabhängigen Integrationsgewichten
    $c_i\,:=\int\limits_a^b\varphi _{N-1,i}(x)dx$

    die Quadraturformel
    $Q_Nf=IP_{N-1}=\sum\limits_{i=1}^Nc_if(x_i)$

    Definition (Interpolatorische Quadraturformeln): Alle Quadraturformeln, die man auf diese Art erhält und die man als Integral eines Interpolationspolynoms von f an den Quadraturabszissen auffassen kann, nennt man interpolatorische Quadraturformeln.

    Fehlerabschätzung:

    Der bei dieser Methode auftretende Verfahrensfehler läßt sich durch den Approximationsfehler PN-1-f abschätzen:
    $\left| IP_{N-1}-If\right| =\left| I(P_{N-1}-f)\right| \leq \left| b-a\right|\left\| P_{N-1}-f\right\| _\infty =\left| b-a\right| e_{N-1}(f)$

    Um nun den Approximationsfehler eN-1(f) geringer als einen vorgegebenen Wert werden zu lassen, gibt es nun folgende zwei Möglichkeiten:
    1. Die Erhöhung des Polynomgrades (einfache interpolatorische Quadraturformeln) oder
    2. die Verwendung mehrerer Teilpolynome bei gleichbleibendem Polynomgrad (zusammengesetzte Quadraturformeln).
    Eine erneute Fehlerabschätzung kann dann auf unterschiedliche Methoden erfolgen.

    Weitere Möglichkeiten zur Erstellung Interpolatorischer Quadraturformeln:

    Beschleunigungsalgorithmus

    Definition (Beschleunigungsalgorithmus): Jedes Verfahren, das durch eine geeignete Umformung einer konvergenten Folge {QN} eine schneller konvergierende Folge {Q'N} liefert, nennt man Beschleunigungsalgorithmus.

    Ein geeignetes Verfahren um einen Beschleunigungsalgorithmus zu erstellen, ist unter anderem die Kenntnis von der Fehlerstruktur einer bekannten Quadraturformel.
    Wenn man zum Beispiel weiß, daß sich der Fehler einer bestehenden Quadraturformel indirekt proportional zu einer Erhöhung der Stützstellenzahl verändert, so kann man ein lineares Gleichungssystem aufstellen ([Quadraturformel 1 mit x Stützstellen] - If = [Fehler 1], [Quadraturformel 2 mit 2x Stützstellen] - If = [Fehler 2]). Durch geeignete Umformungen kommt man wieder auf eine Form

    $\left| Q_Nf-If\right| \leq \epsilon $
    bei der QN der neuen Quadraturformel entspricht.

    Lineare Transformation von Quadraturformeln

    Bei der linearen Transformation von Quadraturformeln geht man davon aus, daß die bekannten Quadraturformeln nur für spezielle Integrationsintervalle spezifiziert sind. Um nun eine solche Formel auf ein anderes Intervall anwenden zu können, muß sie erst einmal geeignet transformiert (z.B. Transformation des Integrationsbereiches) werden. Durch diese Transformation entsteht eine neue Quadraturformel für einen neuen Intervallbereich.
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