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7.2.5 Fehlerabschätzung
Durch oben beschriebene inhärente Unsicherheit der numerischen Integration ist auch die Fehlerabschätzung "total unsicher". Auch hier wären globale Voraussetzungen (wie bei der Transformation von unendlichen auf endliche Integrationsbereiche, s.o.) notwendig, die aber meistens nicht verfügbar sind.
In der Praxis vergleicht man meist zwei auf unterschiedliche Arten berechnete Näherungswerte. Hierzu wir oft eine Menge von Abtastpunkten verwendet, die schon bei der Berechnung der Resultate benutzt wurde, um den Aufwand gering zu halten.
Es gibt grundsätzlich drei verschiedene Arten um zu unterschiedlich genauen Ergebnissen zu kommen.
Bei diesem Verfahren werden zwei unterschiedliche Integrationsformeln verwendet, von denen eine Formel im allgemeinen die genaueren Werte liefert. Diese Werte werden nun als "exakt" aufgefaßt und erlauben so eine Fehlerschätzung der ungenaueren Funktion.
Ein großer Nachteil bei dieser Methode ist, daß nur eine Fehlerschätzung für ungenauere Funktion durchgeführt werden kann. Weiters ist meistens ein höherer Brechnungsaufwand für genauere Funktion nötig.
Auch bei diesem Verfahren erfolgt die Abschäung durch zwei unterschiedlich genaue Funktionswerte.
Die Berechnungen der Werte erfolgt hier durch folgenden Vorgang:
Anwendung der Ausgangsformel auf den Integrationsbereich [a, b].
Nochmalige Anwendung auf beide Hälften des halbierten Integrationsbereichs [a, (a+b)/2] bzw. [(a+b)/2,b], die Addition der Ergebnisse ergibt den genaueren Wert.
Die Fehlerabschätzung erfolgt nun mit den beiden errechneten Werten.
Die Fehlerabschätzung mit randomisierten Formeln beruht auf dem Monte-Carlo-Prinzip. Durch das "Gesetz der großen Zahlen" kann man davon ausgehen, daß das Stichprobenmittel von unabhängigen Integral-Approximationen gegen den exakten Wert konvergiert. D.h.: Führt man die Funktionsauswertung mit randomisierten Formeln (deren Auswertungen zwar nie den genauen Wert treffen, aber gleichmäßig um diesen verteilt sind) genügend oft aus, wir deren Mittel gegen den exakten Wert laufen.
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