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Inhaltsverzeichnis Kapitel 7.4.3 Konstruktion durch Approximation

  • 7.4.3.1 Vorgehensweise
  • 7.4.3.2 Fehlerabschätzung
  • 7.4.3.3 Geeignete Modellfunktionen
  • 7.4.3.4 Genauigkeit

    • 7.4.3 Konstruktion durch Approximation

    7.4.3.1 Vorgehensweise:

    Diese Methode verwendet zur Gewinnung einer effizienten Quadraturformel das Approximationsprinzip. Hierbei wird davon ausgegangen, den Integranden f durch eine ähnliche Modellfunktion g zu ersetzen, von der man eine einfache Integrationsformel kennt. Man berechnet nun das bestimmte Integral Ig der Modellfunktion g und verwendet es als Näherungswert für das gesuchte Integral If.

    7.4.3.2 Fehlerabschätzung:

    Wenn die Approximationsfunktion g die Ungleichung
    $\left\| g-f\right\| _\infty \leq \frac \epsilon {b-a}$

    erfüllt, dann gilt folgende Fehlerabschätzung
    $\left| I_g-I_f\right| =\left| \int\limits_a^bg\left( x\right) dx-\int\limits_a^bf(x)dx\right| \leq \int\limits_a^b\left| g(x)-f(x)\right| dx\leq \left( b-a\right) \left\| g-f\right\| _\infty \leq \epsilon $,
    welche der Fehlerabschätzung durch unterschiedlich genaue Integrationsformeln entspricht.

    7.4.3.3 Geeignete Modellfunktionen:

    Bei dieser Methode der Konstruktion durch Approximation eignen sich vor allem Polynome als Modellfunktionen, da sie sich sehr einfach formelmäßig integrieren lassen.
    $\int\limits_a^bP_d(x)=\sum\limits_{i=0}^d\frac{\alpha _i}{i+1}\left(b^{i+1}-a^{i+1}\right) $

    7.4.3.4 Genauigkeit:

    Um einen möglichst großen Genauigkeitsgrad zu erzielen (d.h. den Fehler der Modellfunktion g gegenüber der Funktion f möglichst gering halten), muß man über eine Folge von Ersatzfunktionen {Pd} verfügen, die gegenüber dem Integranden f konvergiert.
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