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Inhaltsverzeichnis Kapitel 7.4.1 Allgemeines über Integrationsformeln

  • Grundlegende Vorgehensweise
  • Definition: Integrationsformel
  • Konstruktion von Integrationsformeln

    • 7.4.1 Allgemeines

    Grundlegende Vorgehensweise

    Bei numerischen Methoden der Quadratur versucht man ein Integral
    $If=\overset{b}\to{\underset{a}\to{\int }}fx)dx$

    durch eine Integrationsformel möglichst genau wiederzugeben.

    Üblicherweise sucht man solche Integrationsformeln (Interpolationsquadraturen), bei denen Polynome möglichst hohen Grades exakt integriert werden können. Besonders wichtig dabei sind die Newton-Cotes-Formeln und die Gauß-Quadraturen. Bei den Newton-Cotes-Formeln beschränkt man sich auf äquidistante Stützstellen, während bei den Gauß-Quadraturen die Punkte xj in gewisser Weise optimal zu wählen sind. Dabei heißt eine Integrationsformal abgeschlossen, wenn die Endpunkte des Intervalls unter den Stützstelle xj vorkommen, andernfalls spricht man von offenen Integrationsformeln. Durch wiederholte Anwendung einfacher Newton-Cotes-Formeln (Trapezregel, Simpsonsche Regel), und Durchführung einer Richardson-Extrapolation erhält man das Romberg-Verfahren.

    Definition (Integrationsformel): Eine gewichtete Summe

    $Q_Nf=\overset{N}\to{\underset{i=1}\to{\sum }}c_if(x_{i)}$

    bezeichnet man als eine numerische N-Punkt-Integrationsformel, wenn sie als Approximation für das Integral If verwendet werden kann.

    Die N voneinander verschiedenen Punkte x1, x2, ... xn werden als Integrationsabszissen (Integrationsknoten, Integrationsstützstellen) und die Werte c1, c2, ... cn werden als Integrationsgewichte (Integrationskoeffizienten) bezeichnet.

    Konstruktion von Integrationsformeln


    Eine Folge von Integrationsformeln {QN} stellt nur dann eine geeignete Grundlage für die Konstruktion von Integrationsalgorithmen dar, wenn für jedes Epsilon>0 ein N Element aus der Menge N existiert, sodaß
    $\left| Q_Nf-If\right| \leq \epsilon $

    gilt. Um möglichst effiziente Methoden zu erhalten, sollten die Abszissen und Gewichte der Formeln QN so gewählt werden, daß ein geforderte Genauigkeitsniveu Epsilon mit möglichst wenigen Funktionsauswertungen erreicht wird.
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