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Inhaltsverzeichnis Kapitel 7.4.5 Romberg-Formeln

  • 7.4.5.1 Allgemeines
  • 7.4.5.2 Genauigkeitsgrad
  • 7.4.5.3 Effizienz der Rombergformeln
  • Beispiel für die Romberg-Formeln

    • 7.4.5 Romberg-Formeln

    7.4.5.1 Allgemeines:

    Von der zusammengesetzten Trapezregel Tl weiß man auf Grund der Euler-Maclaurinschen Summenformel, daß bei hinreichend differenzierbaren Integrandenfunktionen der Verfahrensfehler Tlf - If die Struktur Tlf - If = C2h2 + C4h4 + C6h6 + ... hat, wobei die Konstanten C2, C4, ... nur von der Integrandenfunktion f, nicht jedoch von der Schrittweite h = (b - a)/l abhängen. Berechnet man nicht nur Tl, sondern auch T2l, dann kann man den ersten Term der Fehlerentwicklung eliminieren und erhält die neue Formel
    $T_i^1=\frac{4T_if-T_if}3$

    mit der Fehlerstruktur Tl1f - If = C41h4 + C61h6 + ... .
    Diesen Vorgang kann man rekursiv fortsetzen,
    $T_i^k=\frac{4^kT_{2i}^{k-1}f-T_i^{k-1}f}{4^k-1}$

    wobei Tl0 = Tl die ursprünglichen Trapezsummen bezeichnet. Dabei erhält man folgendes Schema, bei dem jeder Wert Tlk Linearkombination des links davon und des schräg links oberhalb stehenden Wertes ist:
    T1 = T10
    T2 = T20 T11
    T4 = T40 T21 T12
    T8 = T80 T41 T22 T13
    ...
    Tl1, Tl2, Tl3, ...     bezeichnet man als Romberg-Formeln. Da es sich bei Tlk um eine Linearkombination von Formeln der Gestalt
    $T_if=\sum\limits_{i=1}^{l+1}c_if(x_i)$

    handelt, kann man auch Tlk in dieser Gestalt darstellen:
    $T_i^kf=\sum\limits_{i=1}^{N+1}c_i^kf\left( x_i^k\right) ,\quad N=l2^k$

    7.4.5.2 Genauigkeitsgrad:

    Die Romberg-Formeln T1k, T2k, T3k, ... haben den Genauigkeitsgrad D = 2k +1. Wegen D = 2k+1 < 2k für k >= 3 sind die Rombergformeln Tl3, Tl4, ... keine interpolatorischen Formeln. Trotzdem sind sie Riemann-Summen.

    7.4.5.3 Effizienz der Rombergformeln

    Mit den Romberg-Formeln lassen sich Integrale glatter Funktionen effizient und mit hoher Genauigkeit numerisch berechnen. Die Effektivität dieser Formeln nimmt jedoch mit abnehmender Glattheit des Integranden sehr rasch ab.

    Beispiel (Romberg-Formeln)
    Dieses Verfahren soll in Form eines interaktiven Beispiels gezeigt werden.

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