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7.2.1 Eine einfache Integrationsformel - Einfache Riemann-Summen
Im nun folgenden Text werden wir anhand eines einfachen Beispiels die Punkte der numerischen Mathematik näher betrachten, die für die numerische Integration von Bedeutung sind. Ums dient zu diesem Zweck die Integrationsformel der einfachen Riemann-Summen.
Wie bereits aus der Einführung bekannt ist, werden Riemann-Integrale univariater (in einer Variable) Funktionen mit Hilfe von Riemann-Summen , definiert.
Bei der einfachen Riemann-Summe wird das Intervall in N genau gleichlange Teilintervalle unterteilt. Es findet also eine "Nicht-adaptive Diskretisierung" statt, d.h. die
Punkte, an denen die Funktion ausgewertet wird, werden fix vorgegeben.
Die absolute Kondition ist bei dieser Formel bezüglich einer Änderung der Integrandenfunktion gut. Soll also eine sehr komplexe Funktion integriert werden, kann man diese durch einen einfacheren Polygonzug approximieren.
Jedoch ist die Kondition bezüglich einer Veränderung der Integrationsgrenzen bedeutend ungünstiger. Dies kann zur Folge haben, daß im Ergebnis keine einzige Stelle stimmt!
Theoretisch ist es möglich, jedes Riemann-Integral beliebig genau zu approximieren. In der Praxis hat man es allerdings mit stochastischen Störungen, wie Daten- bzw. Meßfehlern, Rundungsfehlern, usw., zu tun, die exakte Funktionsauswertung unmöglich machen.
Ebenso ist eine exakte Fehlerabschätzung nicht möglich. Man hilft sich in diesem Fall durch verschiedene Methoden wie der Zuhilfenahme unterschiedlich genauer Integrationsformeln oder randomisierter Formeln nach dem Monte-Carlo-Prinzip.
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