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[ Thomas Theußl ]


6.8.2 Anwendungen von Polynomsubsplines

Kubische Splinefunktionen

Da die 4k Parameter durch die k+1 Funktionswerte

f0,f1,...,fk an den Stellen x0,x1,...,xk

sowie die 3(k-1) Stetigkeits- bzw Differenzierbarkeitsforderungen nicht eindeutig bestimmt sind (man hat nur 4k-2 Bedingungen), sind noch zwei zusätzliche Bedingungen (welche Randbedingungen genannt werden) erforderlich.

Natürliche Randbedingungen:

s"(a)=0

s"(b)=0

Diese interessante Art der Randbedingungen ist für praktische Anwendungen nicht geeignet, da die Information, die in der zweiten Ableitung steht, verloren geht.

Hermite Randbedingungen:

s'(a)=f'(a) und s'(b)=f'(b)

oder

s"(a)=f"(a) und s"(a)=f"(a)

In praktischen Beispielen werden diese Informationen nicht verfügbar sein, sie können aber geschätzt werden.

"Not-a-knot"-Bedingungen (Einheitlichkeitsbedingungen)

s(3)(x1-)=s(3)(x1+) und s(3)(sk-1-)=s(3)(sk-1+)

Dadurch werden die Polynome auf den ersten und letzten beiden Intervallen zu einheitlichen, durch vier Koeffizienten bestimmte, Polynome.

Die kubischen Hermite-Randbedingungen und die Not-a-Knot Bedingungen sind bezülich ihrer (theoretischen) Approximationseigenschaften gleichwertig. Eine Auswahl zwischen diesen beiden Randbedingungen hängt daher von der praktischen Erprobung ab.

Periodische Randbedingungen

s'(a)=s'(b) und s"(a)=s"(b)

Diese sind nur dann sinnvoll, wenn auch die zugrunde liegende Funktion periodisch ist.

Die durch die Daten und Randbedingungen definierte kubische Splinefunktion hat die wichtige Minimaleigenschaft, daß das Integral der zweiten Ableitung im Intervall [a,b] den kleinstmöglichen Wert annimmt. Weiters kann jede ausreichend oft differenzierbare Funktion durch eine kubische Splinefunktion beliebig genau approximiert werden


Koeffizienten- und Werteberechnung

Das Berechnen der Koeffizienten einer kubischen Splinefunktion erfordert die Lösung eines linearen Gleichungssystems für die gesuchten Werte s0',s1',...,sk' oder s0",s1",...,sk"

Für die Werteberechnung ist die spezielle Koppelung der Teilpolynome irrelevant, sie erfolgt wie bei der Auswertung stückweiser Polynome.


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