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[ Gerwin Szabo ]

6.8 Stückweise Polynominterpolation

Definition :

Eine Alternative zu einem durchgehenden, einheitlich definierten Interpolationspolynoms ist die Aproximation durch stückweise Polynomfunktionen auf dem Intervall [a,b].

$g(x):=\matrix P_{d1}^1(x),x\in \left[ a,x_1\right) \\ P_{d2}^2(x),x\in \left[x_1,x_2\right) \\ \\ P_{dk}^k(x),x\in \left[ x_{k-1},b\right] \endmatrix $

Hierbei handelt es sich, sofern man nicht wie im Falle der Splineinterpolation Kopplungsbedingungen für die einzelnen Teilpolynome angibt, um ein lokales Interpolationsverfahren. Durch die Unterteilung in einzelne Stücke kann man eine gute Anpassung an eine lokal unterschiedliches Verhalten einer Funktion f erreichen. Durch die Unabhängigkeit der einzelnen Polynomstücke können sehr effiziente Algorithmen zur Berechnung des Funktionsverlaufs von f entwickelt werden. Die Wahl der Teilungspunkte und der einzelnen Polynomgrade kann durch adaptive Strategien erfolgen, bei denen durch sukzessives Erhöhen der Knotenanzahl Informationen über die Funktion f gewonnen werden, die zur Bestimmung der nächsten Knotenpunktlage dient.

Sprungstellen :

Durch geeignete Wahl von Lage und Anzahl der Teilungspunkte kann man unter sehr allgemeinen Voraussetzungen erreichen, daß die Sprunghöhen und der gesamte Aproximationsfehler beliebig klein werden.

Auswertung :

Die Auswertung eines stückweisen Polynoms erfolgt in zwei Schritten: Für eine gegebene Stelle x, für die der Funktionswert g(x) gesucht ist, wird:

  • z.B. durch binäres Suchen jener Index ermittelt, für den gilt x Element aus [xi-1,xi) und

  • das i-te Polynom $P_{d_i}^i$ an der Stelle x mittels Horner-Schema ausgewertet.

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