Gutensohn
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Polynomnullstellen

Wenn im Nullstellenproblem f(x)=0 die Funktion f ein univariates Polynom Pd vom Grad d mit komplexen oder reellen Koeffizienten ist, so liegt das klassische Problem vor, die Wurzeln (Lösungen, Nullstellen) einer algebraischen Gleichung zu bestimmen:

$P_d(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_dx^d=0,$ a$_i$ $\in $ $\BbbC $

Die Gleichung besitzt d Lösungen (Nullstellen), wobei sie mit ihrer Vielfachheit gezählt werden (Fundamentalsatz der Algebra).

Da also eindeutige reelle oder komplexe Zahlen

$x_1^{*},x_2^{*},...,x_k^{*},\in \BbbC $

und

$m_1,m_2,...,m_k,\in \BbbN $

mit

$m_1+m_2+...+m_k=d$

existieren, gilt folgende Faktorisierung:

$P_d(x)=a_d(x-x_1^{*})^{m1}(x-x_2^{*})^{m2}...(x-x_k^{*})^{mk}$

Sind die Koeffizienten a0,a1,...ad reell, so ist mit jeder Lösung x* auch deren konjugiert komplexe Zahl y* (als konjugiert komplexe Zahl y* zu x* =a+ib bezeichnet man die komplexe Zahl y* =a-ib) eine Lösung, und zwar mit derselben Vielfachheit. Jede algebraische Gleichung ungeraden Grades (mit reellen Koeffizienten) hat daher mindestens eine reelle Lösung.

Für Polynome vom Grad kleiner als 5 existieren Formeln zur Berechnung der Nullstellen.

Für Polynome höheren Grades ist im Allgemeinen nur eine angenäherte Lösung möglich (Satz von Abel).

In der Praxis werden allerdings Iterationsverfahren bereits bei Gleichungen dritten und insbesondere vierten Grades angewendet.


Verfahren:

Alle Methoden zur Lösung von nichtlinearen Gleichungen können auch auf algebraische Gleichungen angewendet werden, insbesondere das Newton-Verfahren wegen der einfachen Herleitbarkeit der ersten Ableitung der Gleichung. Es liefert jedoch im Gegensatz zum Müller-Verfahren bei reellen Startwerten nur eine reelle Folge und erst bei Verwendung komplexer Startwerte auch die komplexen Nullstellen.


Spezielle Verfahren:

Bernoulli-Verfahren und der dreistufige Polyalgorithmus, das sogenannte Jenkins-Traub-Verfahren.


Veröffentlichungen:

Jenkins, Traub
Householder


Software:

IMSL/MATH-LIBRARY/zporc: Jenkins-Traub-Verfahren für Polynome mit reellen Koeffizienten.
IMSL/MATH-LIBRARY/zpocc: Jenkins-Traub-Verfahren für Polynome mit komplexen Koeffizienten.
IMSL/MATH-LIBRARY/zplrz: Lagurre-Verfahren für Polynome mit reellen Koeffizienten.
NAG/c02age: Erweiterte Parameterliste für Polynome mit reellen Koeffizienten.
NAG/c02afe: Erweiterte Parameterliste für Polynome mit komplexen Koeffizienten.

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