Kerschhofer
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Das verallgemeinerte lineare Verfahren

Im Kapitel lineare Gleichungssysteme, wurde ein allgemeines Iterationsverfahren vorgestellt. Dieses Verfahren, kann auch auf nichtlineare Gleichungssysteme verallgemeinert werden.
Bei diesem Iterationsverfahren muß das Gleichungssystem zuerst in Fixpunktgestalt umgewandelt werden.

Beispiel:
das NLGS
\EQN{7}{1}{}{}{\RD{\CELL{x^2+y-11=0}}{1}{}{}{}\RD{\CELL{x+y^2-7&=&0}}{1}{}{}{}}

hat die Fixpunktgestalt

\EQN{7}{1}{}{}{\RD{\CELL{x=\sqrt{-y+11}}}{1}{}{}{}\RD{\CELL{y=\sqrt{-x+7}}}{1}{}{}{}}.

Nun werden für das x und das y auf der rechten Seite Startwerte eingesetzt, um x und y Werte auf der linken Seite zu erhalten. Diese Werte werden wiederum auf der rechten Seite eingesetzt und so weiter. Dies wird solange fortgeführt, bis sich der Vektor nicht mehr ändert.

Beispiel: Für das obige NLGS sieht das folgendermaßen aus: Der Startvektor ist (0,0)danach folgen:
(3.31662, 2.64575)
(2.89037, 1.91921)
(3.01343, 2.02722)
(2.99545, 1.99663)
(3.00056, 2.00113)
(2.99981; 1.99985)
(3.00002; 2.00004)...

die Lösungsvektoren pendeln wie man sehen kann um den Fixpunkt (3, 2), was eine von vier Lösungen des NLGS darstellt.

zwei Parabeln schneiden einander in vier Punkten

Gesamtschrittverfahren

Übrigens wurde hier jedesmal ein Vektor vollständig neu errechnet, und dieser anschließend für den nächsten Iterationsschritt verwendet. Diese Verfahren wird als Gesamtschrittverfahren bezeichnet. Der Algorithmus sieht also folgendermaßen aus: 
Do k = 1,2...
 Do For i = 1 to n 
 solve f(i)(x1(k),...,xi-1(k),u,xi+1(k),...,xn(k)) = 0
 x(k+1)i := u
 End Do
If Abbruchbedingung Then Exit
end do

Einzelschrittverfahren

Es ist aber bei Gleichungssystemen mit mehr als zwei Unbekannten auch möglich, jedesmal nachdem eine Koordinate des Vektors x(k+1) errechnet wurde, diese sofort in den Vektor x(k) einzusetzen, mit dem die nächste Koordinate ausgerechnet wird. Dabei spricht man vom Einzelschrittverfahren. Das Vorgehen ist aus dem Sourcecode ersichtlich (man beachte die Indizes der Argumente der solve Prozedur):

Do k = 1,2...
 Do For i = 1 to n
 solve fi(x1(k+1),...,xi-1(k+1),u,xi+1(k),...,xn(k)) = 0 xi(k+1) := u
 End Do If Abbruchbedingung Then Exit
end do
Nun stellt sich zwangsläufig für Systeme mit mehreren Lösungen die Frage, welcher Startwert auf welche Lösung führt. Dieses Problem wird im Kapitel Startwertbestimmungen näher erläutert.
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