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Wenn man eine Funktion f auf einem Intervall [a,b] durch ein Interpolationspolynom approximieren will und über die Interpolationsknoten frei verfügen kann, dann sollte man unbedingt die Tschebyscheff-Abszissen verwenden. Man hat dann gegenüber äquidistanten Knoten folgende Vorteile:
Formel 7.7.2
(Siehe Satz) ist auch für sehr hohe Grade das so erhaltene Interpolationspolynom in seiner Approximationsqualität kaum schlechter als das bezüglich der Maximumnorm bestapproximierende Polynom .
Da die
laut Voraussetzung die Nullstellen des Tschebyscheff-Polynoms
sind, ist
in diesem Fall ein Vielfaches von
. Aus der
und weiters, daß die Tschebyscheff-Abszissen jene Interpolationsknoten in
[-1,1] sind, für die
minimal ist,
was neuerlich die Sonderstellung der Tschebyscheff-Abszissen betont.
Die Abschätzung (
)
für den Interpolationsfehler lautet daher in diesem Spezialfall
,
wobei
eine Schranke für den Betrag der Ableitung
auf [-1,1] bezeichnet.
Das Beispiel
Approximation der Sinusfunktion
zeigt die Anwendung des Gelernten.
Eine Alternative zum
Abbruch der Entwicklung eines Interpolationspolynoms
mit zu hohem Grad
besteht im
sukzessiven Erhöhen des Polynomgrades
, bis man die gewünschte Approximationsgenauigkeit erreicht hat.
Die beiden Vorgehensweisen werden nun genauer beläuchtet.
* * *
Im häufig auftretenden Fall, daß man über die Ableitungen von f
keine Information besitzt, kann man die Polynominterpolation an den
Tschebyscheff-Knoten auf folgende Art einsetzen:
Man wählt eine Stützstellenanzahl, bei der mit großer Wahrscheinlichkeit der
benötigte Polynomgrad (bei dem man die geforderte Genauigkeit erreicht)
überschritten wird. Dann benützt man folgende Eigenschaft der
Koeffizienten
der Entwicklung
des Interpolationspolynoms
. Die Beträge
fallen bis zu einem Niveau,
das durch die Genauigkeit der Funktionswerte bestimmt wird
(dies kann auch die Genauigkeit der Maschinenzahlen
sein, falls sonst keine Störungen der Funktionswerte vorliegen).
Bei dieser Vorgangsweise verwendet man aber nicht die
Nullstellen, sondern die Extremstellen der Tschebyscheff-Polynome als
Interpolationsknoten. Man kommt auf diese Art zu Interpolationspolynomen mit
fast gleich guten Approximationseigenschaften, die den Vorteil haben, daß
beim Übergang vom Polynom
zum Polynom
sämtliche
f-Auswertungen, die man für die Bestimmung von
benötigt, bei der Berechnung von
wieder verwendet werden können. Man kann dann z.B.
als Fehlerschätzung verwenden,
berechnen und gegebenenfalls die Entwicklung abbrechen.
* * *
Abbruch der Entwicklung in Tschebyscheff-Polynomen
Sukzessives Erhöhen des Polynomgrades
Beispiele:
Approximation der Sinusfunktion
Die Implementierung der trigonometrischen Funktionen als vordefinierte Unterprogramme in den höheren Programmiersprachen erfolgt oft mit approximierenden Polynomen in einem Periodenintervall oder einem Teil davon. Approximiert man z.B. sin (x) durch ein Interpolationspolynom an den Tschebyscheff-Knoten im Intervall , so ergibt sich wegen
und
,
wobei der Faktor von der Umskalierung von [-1,1] auf herrührt, die Fehlerabschätzung
Das Polynom P9 mit einer Fehlerschranke würde für (2,24,-125,128,true) bereits eine zufriedenstellende absolute Approximationsgenauigkeit liefern. Durch Verkleinerung des Interpolationsintervalls auf und gleichzeitige Approximation von cos (x) kann der erforderliche Polynomgrad d noch weiter gesenkt werden.
* * *
Approximation der Exponentialfunktion
Interpoliert man auf dem Intervall
an den Tschebyscheff-Nullstellen durch , dann zeigen die Beträge das aus Tabelle~\ref{tab:09.KO} ersichtliche Abklingverhalten.
Die Werte bleiben bei einfach genauer Rechnung alle in der Größenordnung . Man wird in diesem Fall die abgebrochene Entwicklung
mit 8 Koeffizienten als Approximation verwenden. Das schnelle Abfallen der gegen den "Minimalpegel" ist bei glatten Funktionen, wie bei diesem Beispiel, besonders deutlich. Das Polynom stellt das bestapproximierende Polynom im Sinne der kleinsten Quadrate dar (siehe Abschnitt~\ref{s:l2approx}).
* * *
Approximation der Logarithmusfunktion
Interpoliert man auf dem Intervall [0.71,1.41] an 100 Tschebyscheff-Nullstellen, verwendet aber nur k=1,2,...,30 Koeffizienten, so nimmt das Maximum des Approximationsfehlers den nachfolgend dargestellten Verlauf.
Abbildung: Maximaler absoluter Fehler bei abgebrochener Tschebyscheff-Interpolation der Logarithmusfunktion zu 100 Knoten im Intervall
Bereits mit 10 Koeffizienten ist das Maximum des absoluten Approximationsfehlers auf abgesunken (siehe die nachfolgende Abbildung).
Abbildung: Absoluter Fehler der nach 10 Koeffizienten abgebrochenen Tschebyscheff-Interpolation der Logarithmusfunktion zu 100 Knoten im Intervall
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