Schwarzinger Rainer

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Das allgemeine Interpolationsprinzip

Alle Interpolationsaufgaben dieses Abschnitts kann man durch das folgende mathematische Problem ausdrücken.

definition93

Will man eine gegebene Funktion f durch ein allgemeines Interpolationsproblem mit einer Modellfunktion tex2html_wrap_inline3373 approximieren, muß tex2html_wrap_inline3422 gelten. Die linearen Funktionale tex2html_wrap_inline3389 müssen in diesem Fall auf einer Funktionenklasse definiert sein, die sowohl tex2html_wrap_inline3324 , den Raum aller k-parametrigen Approximationsfunktionen, als auch den Funktionenraum tex2html_wrap_inline3430 , der die möglichen Datenfunktionen f enthält, umfaßt.

bsp100


Abbildung: Interpolation von 9 Datenpunkten durch ein Polynom ...

bsp118


Abbildung: Interpolation bezüglich allgemeiner linearer Funktionale

Dieses Beispiel zeigt, daß es nicht immer Funktionswerte tex2html_wrap_inline3478 sein müssen, die vom Anwender zur Festlegung einer Interpolationsfunktion verwendet werden.

soft133

Im Zusammenhang mit dem allgemeinen Interpolationsproblem ergibt sich eine Reihe von Fragen: Unter welchen Voraussetzungen existiert überhaupt eine Lösung des Problems? Falls eine Lösung existiert, ist sie eindeutig oder gibt es mehrere Lösungen? Was kann man über die Approximationsgenauigkeit D(g,f) aussagen, wenn man die Interpolationsfunktion g zur Approximation von f verwendet, wenn man also tex2html_wrap_inline3488 annimmt?

Die ersten beiden Fragen kann man für das allgemeine Interpolationsproblem beantworten, für die Beurteilung der Approximationsgenauigkeit muß man zusätzliche Annahmen über tex2html_wrap_inline3430 , tex2html_wrap_inline3492 und die Funktionale tex2html_wrap_inline3494 treffen, um zu quantitativen Aussagen zu gelangen. Das Thema der Approximationsgenauigkeit wird etwas später (in den Abschnitten Approximations- und Konvergenzeigenschaften und Verfahrensfehler der Polynominterpolation ) genauer diskutiert.




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