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Ein univariates Interpolationspolynom Pd ist durch die Daten des Interpolationsproblems - d + 1 Stützstellen und d +1 Funktionswerte - eindeutig bestimmt, d.h., auch bei verschiedenen Darstellungen von Pd gibt es bei fester Wahl der Normen nur eine Konditionszahl für die Funktionswerte, die allerdings durch die Lage der Stützstellen x1, x2, ..., xk stark beeinflußt wird (siehe Abschnitt 9.3.8). Bei hohen Polynomgraden (und speziell bei äquidistanten Stützstellen) ist die Kondition der Funktionswerte von Interpolationspolynomen sehr schlecht.
Die Kondition der Koeffizienten hängt sehr stark von der jeweiligen Polynomdarstellung ab; so sind z.B. die Koeffizienten c0, c1, ..., cd der Monom.Darstellung
Pd(x) = co + c1x + c2x2 + ... + cdxd
im allgemeinen wesentlich schlechter konditioniert als die Koeffizienten a0, a1, ..., ad der Darstellung in Tschebyscheff-Polynomen
Bei einem konstruierten Test wurde von folgender Exponetialsumme ausgegangen:
f(t) := 0.0951 exp(-t) + 0.8607 exp(-3t) + 1.5576 exp(-5t).
Disketisierung und Quantisierung lieferten die folgenden Datenpunkte:
Auf Grund der Quantisierung sind die Werte {[y~i]} mit Datenfehlern der Größenordnung 0.005 behaftet. Die Werte {ti} sind bis auf Maschinengenauigkeit exakt. Mit den fehlerbehafteten Daten der Tabelle wurde nun der Versuch unternommen, die Funktion f zu rekonstruieren. Ein versuchsweiser Ansatz mit einer Exponentialfunktion führte auf ein unzureichendes Approximationsergebnis. Der Ansatz mit zwei Exponentialsummanden führte auf
g(t) := 0.305 exp(-1.58t) + 2.202 exp(-4.45t).
Die Funktion g ist bezüglich der Abstände ||g(ti) - {[y~i]}|| eine völlig zufriedenstellende Modell- bzw. Approximationsfunktion für die Datenpunkte {(ti, {[y~i]}} (siehe auch Abb. 6.10). Auch für die Funktion f ist g eine sehr gute Näherung: Ein besserer Fehlerverlauf g(t) - f(t) kann auf Grund der Datenfehler nicht erwartet werden. Hinsichtlich der Parameterbestimmung ist die Funktion g aber absolut unbefriedigend (man vergleiche die Koeffizienten von f und g). Das Parameter-Identifikationsproblem wurde also nicht gelöst. Auch durch Übergang auf drei Exponentialsummanden, was dem Minimalitätsprinzip (siehe Abschnitt 1) widersprechen würde, erhält man keine bessere Annäherung an die Parameter der Funktion f.
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