Festpunkt - Zahlensysteme

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3.4.2 Festpunkt-Zahlensysteme:

Indem man die Zahlengerade in 2^ker Schritten einteilt, kann man dieses Intervall verkleinern oder vergrößern, je nachdem wie groß k $\in$ Z gewählt wird. Die Dichte der darstellbaren Zahlen wird dadurch größer bzw. kleiner. Bei einer Skalierung mit 2^k, k < 0, entspricht die Darstellung der Bitfolge vd_N-2d_N-3...d₂d₁d₀ einem vorzeichenbehafteter Binärbruch mit - k > 0 Stellen nach dem Binärpunkt. Es werden wieder die selben Variablen wie beim Integer-Zahlensystem verwendet: d_j,v $\in$ {0,1}, j $\in$ N, v = Vorzeichen.
$\begin{eqnarray} v\,d_{N-2} d_{N-3} \cdots d_{2} d_{1} d_0 & \doteq & (-1)^v \cdot 2^{k} \sum_{j=0}^{N-2} d_{j}\cdot 2^{j}\,\,\doteq \label{eqn:s133}\\ & \doteq & (-1)^v \cdot d_{N-2} \cdots d_{-k}\hspace{0.5mm} \mbox{\bf .}\hspace{0.5mm} d_{-k-1} \cdots d_{0}\nonumber \end{eqnarray}$
Fest skalierte Zahlenmengen dieser Art nennt man Festpunkt-Zahlensysteme.

Beispiele:

N = 4, k = 1:

N = 4, k = -1:

Festpunkt-Zahlensystem: Bei einem Festpunkt-Zahlensystem mit der Formatbreite N = 16 Bit und einer Skalierung mit 2^k, k = -4 ist die Zahlenmenge durch
$vd_{14}d_{13}\dots d_1d_0\,\doteq\,(-1)^v\cdot2^{-4}\sum_{j=0}^{14} d_j\cdot 2^j$
gegeben. Ein Beispiel einer Festpunktzahl ist:

1000 0001 1011 0101 $\doteq$ -1 1011.0101₂ = -27.3125₁₀

Für k = - (N-1) steht der angenommene Binärpunkt genau vor der ersten Ziffer d_N-2 der Folge von Binärziffern (.xxx...x, x $\in$ {0,1}). Man kann k nicht gleich -N wählen, da d_N-1 das Vorzeichen repräsentiert. Man muß nicht Binärzahlen verwenden, man kann z.B. auch Hexadezimalzahlen (oder Sedezimalzahlen) verwenden: d_j $\in$ {0,...,9,A,...,F}. Es ist auch möglich 4 Bits zur Codierung einer Dezimalziffer d_i $$\in$ {0,1,...,9} verwenden (allerdings mit einer nicht unbeträchtlichen Redundanz: 0₁₀ $\doteq$ 0000₂, 1₁₀ $\doteq$ 0001₂, ... 9₁₀ $\doteq$ 1001₂. 1010₂bis 1111₂ werden nicht benutzt.). Das ergibt die dezimalen Festpunkt-Codierungen, die man auch normalerweise benutzt. Solche codierungen werden oft für Taschenrechner verwendet. Vergleiche auch BCD-Code.

Beispiel:

Hexadezimalzahlen: Die Zahl 2842₁₀, deren Binärdarstellung 1011 0001 1010₂ ist, wird im Hexadezimalsystem B1A₁₆ geschrieben.

Intel: Die Intel-Mikroprozessoren haben neben den oben erwähnten binären Integer-Zahlensystemen eine 18-stellige dezimale Integer-Codierung mit einer Formatbreite N=73 Bit (18 * 4 Bit und ein Vorzeichenbit).

Nachteil von Festpunkt-Zahlensystemen: Die Anzahl der Zahlen vor bzw. nach dem Komma sind fix. Die Größenordnung der bei den Aufgaben der Numerischen Datenverarbeitung auftretenden Daten variieren aber über einen sehr weiten Bereich, der oft nicht im Vorhinein bekannt ist.

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