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Vielfachheit einer Nullstelle

Eine Nullstelle x* einer Funktion

$f:\BbbR \rightarrow \BbbR $

wird durch Angabe ihrer Vielfachheit genauer beschrieben.


Definition der Vielfachheit von Nullstellen:

Wenn man f in einer Umgebung von x* in der Form

$f(x)=(x-x^{*})^m\cdot \varphi (x)$

faktorisieren kann, wobei Phi in einer Umgebung von x* stetig ist und

$\varphi (x^{*})\neq 0$

gilt, so bezeichnet man m als die Vielfachheit von x* . Im Spezialfall m=1 spricht man von einer einfachen Nullstelle.


Satz:

Ganzzahlige Vielfachheit einer Nullstelle

Falls f in einer Umgebung der Nullstelle von x* mehrfach stetig differenzierbar ist, so folgt aus

$f\in C^m(U(\left\{ x\right\} ))$

$f^{\prime }(x^{*})=f^{\prime \prime }(x^{*})=......=f^{(m-1)}(x^{*})=0$

und

$f^{(m)}(x^{*})\neq 0$

daß die Nullstelle x* die ganzzahlige Vielfachheit m hat.

Im speziellen ist

$x^{*}\in (a,b)$

genau dann eine einfache Nullstelle ( reguläre Nullstelle oder Nullstelle erster Ordnung) von

$f\in C^1\left[ a,b\right] $

wenn

f (x*)=0 und f' (x*) < > 0

gilt. Die Kurve y = f (x) schneidet also in diesem Fall die x-Achse bei x* in einem von 0 verschiedenen Winkel.

Nullstellenprobleme mit einfachen Nullstellen reagieren gutartig auf Störungen:

Wird f gestört, so hat auch die gestörte Funktion eine Nullstelle. Diese liegt in der Nähe von x*. Bei mehrfachen Nullstellen mit gerader Vielfachheit ist dies nicht mehr der Fall.


Beispiel:

zweifache Nullstelle

Die Funktion f(x):=x2 - 2x +1 hat die zweifache Nullstelle x* = 1. Die gestörte Funktion

$\tilde{f}(x):=f(x)+\epsilon >0$

mit Epsilon >0 besitzt überhaupt keine reelle Nullstelle.

Die numerische Ermittlung mehrfacher Nullstellen bereitet größere Schwierigkeiten als die Berechnung einfacher Nullstellen:

Die erreichbare Genauigkeit

$\left| \tilde{x}^{*}-x^{*}\right| $

ist wegen der schlechten Konditionen deutlich herabgesetzt (siehe Kondition des Nullstellenproblems).

Die Effizienz (die Konvergenzgeschwindigkeit) der meisten Nullstellen- Verfahren ist wesentlich schlechter, falls sie nicht überhaupt versagen.


Modifikation des Problems

Falls neben f auch f ' verfügbar ist, kann man statt f (x) = 0 das modifizierte Problem u(x) = 0 mit

$u(x):=\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}$

lösen. Hat x* die Vielfachheit m, so gilt wegen (Definition Vielfachheit einer Nullstelle),

$\frac{f(x)}{f^{\prime }(x)}=(x-x^{*})\frac{\varphi (x)}{m\varphi(x)+(x-x^{*})\varphi (x)}=:(x-x^{*})\psi (x)$

Aus

$\psi (x^{*})=1/m\neq 0$

folgt, daß x* eine einfache Nullstelle von u=f / f' ist. Die oben genannten Schwierigkeiten lät;gen es daher nahe, bei Verfügbarkeit von f' die mehrfache Null x* von f aus dem modifieirten Nulstellenproblem zu ermitteln. Praktische Schwierigkeiten treten dabei aber an jenen Stellen auf, wo f' eine Nullstelle hat, f aber nicht, also an Polstellen der Funktion u.

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