Man spricht bei einem iterativen Verfahren von Konvergenz, wenn gilt:
Dies ist deshalb von Bedeutung, da die Iteration zum Lösen von nichtlinearen Gleichungen nur dann brauchbar ist, wenn die dadurch entstehende Folge gegen x* konvergiert, und nicht in eine unendliche Folge ausartet.
Wenn darüber hinaus gilt, daß der gesamte Definitionsbereich von T Einzugsbereich der Iteration ist, so spricht man von einer globalen Konvergenz. Wenn der Einzugsbereich nur eine Umgebung der Lösung umfaßt, spricht man von lokaler Konvergenz.
Über den Einzugsbereich kann keine allgemeine Aussage getroffen werden, in vielen Fällen bewirkt jedoch ein kleiner Einzugsbereich eine rasche Konvergenz.
Man muß sich generell fragen, ob es eine für die Konvergenz hinreichende Bedingung gibt. Eine hinreichende Bedingung ist zum Beispiel der Kontraktionssatz. Er ist einerseits ein wichtiges Hilfsmittel zum Nachweis für die Eindeutigkeit von nichtlinearen Gleichungen und andererseits zur Gewinnung von Iterationsverfahren zur näherungsweisen Bestimmung derselben.
Eine wesentliche Voraussetzung für die Anwendung des Kontraktionssatzes ist jedoch die Kenntnis einer möglichst guten ('kleinen') Lipschitz-Konstanten L für die Funktion T. Deren Gewinnung ist gelegentlich durch zuhilfenahme von Computer - Algebrasystemen möglich.
Ist T auf einer beschränkten und konvexen Menge D0 stetig differenzierbar, so erfüllt T dort eine Lipschitz-Bedingung mit der Lipschitz-Konstante
wobei T' die Funktionsmatrix (Jacobi - Matrix) von T bezeichnet:
Konvergenz bei Gleitpunktberechnung:
Die sukzessiven Näherungslösungen für eine Iteration können bei der Durchführung auf einem Computer immer nur Gleitpunktzahlen sein (siehe 4.4.3). Da diese jedoch kein Zahlenkontinuum bilden ist eine Konvergenz im klassischen Sinn der Analysis jedoch nicht möglich. Deshalb muß auf numerische Näherungslösungen zurückgegriffen werden.
Diese sind entweder stationär, d.h. für ein bestimmtes k aus N gilt:
oder sie sind periodisch
Zu erwähnen sind auch noch die speziellen periodischen Näherungslösungen welche durch die Periode alternierend werden.
Aus dem Kontraktionssatz erhält man beispielsweise durch den Grenzübergang m gegen unendlich folgende Fehlerabschätzung:
Ist nun eine Lipschitz-Konstante in T bekannt, so kann bereits nach dem ersten Schritt der Iteration festgestellt werden, wieviele Schritte kmax erforderlich sind um die absolute Genauigkeitsanforderung
![$\left\| x^{*}-x^{(k)}\right\| \leq \epsilon _{abs}$ $\Rightarrow $ k$_{\max }$= $\left[ \frac{\log \left( \frac{\epsilon _{abs}\cdot \left( 1-L\right)}{\left\| x^{(1)}-x^{(0)}\right\| }\right) }{\log L}\right] $](pic/j02_0206.gif)
garantiert erfüllen zu können.