Anzahl der Gleitpunktzahlen

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4.5.4 Relative Abstände der Gleitpunkzahlen

Normalisierte Zahlen

Der absolute Abstand $|\Delta x|$ zweier Zahlen auß IF_N mit $\Delta x=x_{nearest}-x$ , wobei x_nearest die nächstgrößere Zahl zu x ist, nimmt mit wachsendem Exponenten e zu. Der relative Abstand $\Delta x/x$ jedoch bleibt aber nahezu unverändert, da er nur von der Mantisse M(x) und nicht vom Exponenten abhängt, was aus folgender Formel leicht ersichtlich wird.

$$\frac{\Delta x}x=\frac{(-1)^v*u*b^e}{(-1)^v*M(x)*b^e}=\frac$

Der relative Abstand bleibt nur nahezu unverändert da zwar der Wert des Zählers unverändert bleibt, nicht jedoch der des Nenners. Der Wert des Nenners kann Werte im Bereich $b-1\leq M(x)<1$ annehmen. Daher fällt der Wert des relativen Abstandes in einem bestimmten Intervall [be,be+1] mit wachsendem x von anfänglich b*u bis fast auf u.Dieser Vorgang wiederholt sich in jedem Intervall aufs neue. Daher spricht man von einer annähernd relativen Dichte.

Beispiel IF(10,6,-9,9):
Im Intervall [10^-3,10^-2]:

$$\frac{10^{-9}}{0.0001}=\frac{b^{-p}}{M_{\min$ oder

$b*u=b*b^{-p}=10*10^{-6}=10^{-5}\leq \frac{\Delta x}x\leq u=10^{-6}$

Im Intervall[10²,10³]:

$$\frac{10^{-4}}{10}=\frac{b^{-p}}{M_{\min }(x)}=\frac{10^{-6}}{0.1}=10^{-5}\leq$ oder

$b*u=b*b^{-p}=10*10^{-6}=10^{-5}\leq \frac{\Delta x}x\leq u=10^{-6}$

Denormalisierte Zahlen

Im Bereich der normalisierten Zahlen geht diese annähernd konstante Dichte jedoch verloren. Umso näher sich der Wert von M(x) der Zahl Null nähert umso größer wird die relative Dichte, d.h für $M(x)\rightarrow 0$ für $x\rightarrow 0$ wird der relative Abstand $\frac{\Delta x}x$ sehr rasch sehr groß.

Beispiel IF(10,6,-9,9):
Im Intervall [10^-6,10^-1-10^-6]:

$$\frac{10-6}{0.099999999}=0.00001\leq \frac{\Delta x}x\leq$

Beispiel IF(10,10,-4,4):
Im Intervall[10^-4,10^-1-10^-4]:

$$\frac{10-4}{0.099999999}=0.001\leq \frac{\Delta x}x\leq$

Durch die verschiedenartige Verteilung der Zahlen aus einem Gleitpunktzahlensystem wird eine Unterteilung in drei Bereiche festgelegt.

$IR_{N}:=[-x_{\max },-x_{\min }]\bigcup [x_{\min },x_{\max }]$
$IR_{D}:=(-x_{\min },x_{\min })$
$IR_{ov\limfunc{erf}low}:=(-\infty ,-x_{\max })\bigcup (x_{\max },\infty )$

wobei:

IR_Njene Teilmenge der reellen Zahlen ist , die mit annähernd gleichmäßiger relativer Dichte von den normalisierten Zahlen überdeckt wird.
IR_D jene Teilmenger der reellen Zahlen ist, die von der Zahl Null und den denormalisierten Zahlen IF_D mit gleichmäßiger absoluter Dichte überdeckt werden.
IR_overflow jene Teilmenge der reellen Zahlen die überhaupt keine Zahlen aus IF enthält.

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