Anzahl der Gleitpunktzahlen

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4.5.2 Größte und kleinste Gleitpunktzahl

Im letzten Abschnitt haben wir festgestellt daß es sich bei der Menge der Gleitpunktzahlen IF um eine endliche Zahlenmenge handelt. Daraus folgt aber auch daß, im Gegensatz zu den reellen Zahlen, es in jedem Gleitpunktzahlensystem eine

größte Zahl $x_{\max }:=\max \left\{ x\in IF\right\} =(1-b^{-p})b^{e_{\max }}$ , und eine

kleinste positive normalisierte Zahl gibt
Beispiele:
- IEC/IEE-Gleitpunktzahlen IF(2,24,-125,128), einfache Genauigkeit
  x_max := (1 - 2^-24) * 2¹²⁸ ~ 2¹²⁸ ~ 3.40 * 10³⁸
  
  x_min := 2^-126 ~ 1.18 * 1 0^-138
  
  Anzahl der verfügbaren Zahlen: ~ 4.26*10⁹
- IEC/IEE-Gleitpunktzahlen IF(2,53,-1021,1024), doppelte Genauigkeit
  x_max := (1 - 2^-53) * 2¹⁰²⁴ ~ 2¹⁰²⁴ ~ 1.80 * 10³⁰⁸
  
  x_min:= 2^-1022 ~ 2.23 * 10^-308
  
  Anzahl der verfügbaren Zahlen: ~ 1.84*10¹⁹
- IBM System/390 IF(16,6,-64,63,false), einfache Genauigkeit
  x_max :=(1 - 16^-6) * 16⁶³ ~16⁶³ ~ 7.24 * 10⁷⁵
  
  x_min := 16^-65 ~ 5.40 * 10^-79
  
  Anzahl der verfügbaren Zahlen: ~ 4.03*10⁹
- IBM System/390 IF(16,14,-64,63,false),doppelte Genauigkeit
  x_max := (1 - 16^-14) * 16⁶³ ~ 16⁶³ ~ 7.24 * 10⁷⁵
  
  x_min := 16^-65 ~ 5.40 * 10^-79
  
  Anzahl der verfügbaren Zahlen: ~ 1.73*10¹⁹

Wie man anhand sieser Berechnungen sieht, überdecken die einfach genauen ZahlenIBM System/390 IF(16,6-64,63,false) annähernd den gleichen Zahlenbereich wie die doppelt genauen Gleitpunktzahlen IBM System/390 IF(16,14,-64,63,false), ein Vorteil ergibt sich nur hinsichtlich der Genauigket, da fuer den gleichen Bereich wesentlich mehr Zahlen zur Verfügung stehen.

Wegen der seperaten Darstellung des Vorzeichens durch (-1)^v (naeheres dazu im vorigen Kapitel) ergibt sich daß die Gleitpunktzahlen symmetrisch zur Zahl null liegen: $x\in IF\leftarrow \rightarrow -x\in IF$

Daraus ergibt sich daß -xmax die kleinste normalisiete Zahl und -xmin die größte negative Zahl in IF ist. Ist denorm = true dann gibt es in IF auch eine

kleinste positive denormalisierte Zahl $x_{\min }=b^{e_{\min }-p}$ und eine
größte negative denormalisierte Zahl $-x_{\min }=-b^{e_{\min }-p}$

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