Anzahl der Gleitpunktzahlen

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3.5.1 Anzahl der Gleitpunktzahlen

Da die Anzahl der Zahlen in der Mantisse begrenzt ist und ebenso die Größe des Exponenten, kann es sich bei der Menge IF nur um eine endliche Teilmenge der reelen Zahlen handeln. Die untenstehende Tabelle zeigt die eineindeutige Zuordnung der Zahlen aus IF zu den Tupeln (exponent,mantisse).

	Exponent	Mantisse
normalisierte Gleitpunktzahlen	$e\in [e_{\min },e_{\max }]$	$M\in [b^{-1},1-b^{-p}]$
denormalisierte Gleitpounktzahlen	$e=e_{\min }$	$M\in [b^{-p},b^{-1}-b^{-p}]$
Null	$e=e_{\min }$

Bei numerischen Berechnungen treten diese abzählbar vielen Zahlen an die Stelle der unabzählbar vielen reellen Zahlen welche die Zahlengerade kontinuirlich ausfüllen.
Bei der Formulierung " die Zahlen aus IR welche von IF ueberdeckt werden " sind jene Zahlen aus IR gemeint bei denen vergleichsweise nahe Zahlen aus IF liegen. Die Anzahl der verfuegbaren Zahlen in einem Zahlensystem IF kann durch folgende Formel berechnet werden.

$2(b-1)b^{p-1}(e_{\max }-e_{\min }+1)$

2(b-1): Bezeichnet die erste Stelle. Da diese ungleich 0 sein muß, bei normalisierten Zahlen, muß von der Basis, also der Anzahl der verfuegbaren Zahlen , 1 abgezogen werden.
Um auch den negativen Zahlen Rechnung zu tragen muss noch mit 2 multipliziert werden.
b^p-1:Es sind noch p-1 weitere Stellen zur Verfügung, jede davon kann b Werte annehmen.
(e_max-e_min+1):Es gibt insgesamt e_max - e_min verschiedene Exponenten und zusaetzlich noch den Exponenten e = 0.

Zu dieser Anzahl kommt noch die Zahl Null hinzu, und falls denorm = true noch die subnormalen Zahlen.

Einige Beispiele (ohne Berücksichtigung der denormalisierten Zahlen):

IEC/IEEE Grundformat IF(2,24,-125,128,true):
2(2-1) b^24-1 (e₁₂₈ - e_-125 + 1) = 2 * 2²³ * 254 =2²⁴ * 254 ~ 4.26 * 10⁹
IEC/IEEE Grundformat IF(2,53,-1021,1024,true):
2(2-1) b^53-1 (e₁₀₂₄ - e_-1021 + 1) = 2 * 2⁵² * 2046 = 2⁵³ * 2046 ~ 1.84 * 10¹⁹
Taschenrechnerformat IF(10,10,-98,100,false):
2(10-1)b^10-1(e₁₀₀-e_-98+1) =2*9*10⁹*199 ~ 3.58*10¹²

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