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3.2.1 Phänomene der Gleitpunkt-Arithmetik auf Rechnern


Welche Bedeutung der Gleitpunkt-Arithmetik zukommt, soll an folgenden Beispielen gezeigt werden.

Nehmen wir die Formel für e = (1+1/n)n mit n$\gegen infty$.


Wir wenden zur Lösung 3 Systeme an:

Berechnung mit Mathematica
Berechnung mit Taschenrechner
Berechnung mit Programmiersprache C



Wir lassen, um n$\gegen infty$ zu simulieren, n bis zur maximalen Maschinenzahl wachsen.

Wenn wir Mathematica mit einer Precision verwenden, die über die Maschinengenauigkeit hinaus geht, erhalten wir die erwartete asymptotische Annäherung an e.

Wenden wir Mathematica mit Maschinengenauigkeit an, so ergibt sich ein sägezahnförmiger Verlauf, d.h. die erwartete Annäherung findet nicht statt, im Gegenteil, mit steigendem n werden die Zacken größer und größer und erreichen bei n = 9E+15 einen Maximalwert von 7.377. Danach fällt die Näherungskurve auf 1 und verbleibt dort bis zur Erreichung der max. Maschinenzahl 8.988465E+307. Im folgenden springt bei Mathematica (und nur dort) die Kurve auf e.

Ein ähnliches Bild erhalten wir bei Anwendung von C mit doppelter Genauigkeit bei n = 9.0028E+15. Danach bleibt die Kurve auf 1.

Wenden wir C mit einfacher Genauigkeit an, werden die Sägezähne zusammengeschoben und der Maximalwert von 7.389 wird bereits bei n = 1.677E+07 erreicht.

Der Taschenrechner ergibt ebenfalls einen zackigen Verlauf der Näherungskurve, allerdings mit einer ganz anderen Charakteristik.

Die oben beschriebenen Phänomene der Gleitpunkt-Arithmetik auf Rechnern zeigen, daß ausgenommen Mathematica mit mehr Stellen als Maschinengenauigkeit, der Menge der fehlerhaften errechneten Zahlen weitaus größer ist, als die Menge der richtigen. Jeweils nur ein Wert pro Zacke deckt sich annähernt mit dem erwarteten Resultat !



WARNUNG


Das obige Beispiel soll zeigen, daß unkritisches Vertrauen auf die Rechenergebnisse eines Computers gefährlich ist.
Die Auswirkungen der Gleitpunkt-Arithmetik und der damit verbunden Rundungen können mitunter zu Fehlern führen, die unerwartete Ausmaße annehmen.


Zur Unterstreichung dieser Warnung sei auch auf das Beispiel für einen Rechenfehler und dessen Analyse im Punkt 3.2 Numerische Daten am Computer hingewiesen.

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Michaela Schuster