3.2 Numerische Daten am Computer

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3.2 Numerische Daten am Computer

Ein fundamentales Prinzip der Informatik ist das Geheimnisprinzip (information hidding).

Danach soll keine Notwendigkeit bestehen, in jeder Abstaraktionsebene des Rechners die genaue Arbeitsweise und Implementierung der tiefer liegenden, weniger abstrakten Schichten zu kennen. Das bedeutet, daß das Arbeiten in einer Ebene ohne Kenntnis der Details der tiefer liegenden Ebenen möglich sein muß.

Statt dessen müssen abstrakte Beschreibungen von Eigenschaften und Funktionalität vorliegen, die zur sachgemäßen Anwendung ausreichen. Solche meist modellhaften Beschreibungen nennt man Schnittstellenspezifikation.
Diese Vorgangsweise kommt den Prizipien des menschlichen Denkens entgegen, gesicherte Kenntnisse bei deren Anwendung nicht noch einmal und in allen Details erwerben zu müssen.

Wenn wir multiplizieren, verlassen wir uns auf die Kenntins des Einmaleins und sehen keine Notwendigkeit dieses Einmaleins auf das Zählen und Addieren, also auf tiefere Ebenen, zurückzuführen.
Dennoch ist es wichtig über die Schnittstellenspezifikation funktionelle Eigenheiten der tieferliefenden Ebenen zu erkennen.
Vernachlässigt man das, kann es zu gravierenden Fehlern kommen, wie nachstehendes Beispiel zeigt.

Beispiel für Rechenfehler (Kulisch, Miranker[270])

x = 192119201

y = 35675640

z = (1682*x*y⁴ + 3*x³ + 29*x*y² - 2*x⁵ + 832) / 107751

Wir wenden zur Lösung 3 Systeme an:

Berechnung mit Mathematica
Berechnung mit Taschenrechner
Berechnung mit Programmiersprache C

Ergebnisse:

Programm Eingabe Precision Resultat Ergebnis

Mathematica infinity 1783 richtig

36 Stellen 117 1783 richtig

35 Stellen 113 0. falsch

17 Stellen 57 0.E+13 falsch

16 Stellen
Maschinengenauigkeit 53 7.180560037061026E+20 falsch

Taschenrechner 7.72150606491E-03 falsch

Turbo C Single precision 24 1.01146705423582961E+29 falsch

Double precision 53 7.72150606490891022E-03 falsch

Das obige Beispiel soll zeigen, daß die Beachtung der Schnittstellenspezifikation - in diesen Fall die Prinzipien der Gleitpunkt-Arithmetik - absolut notwendig sind, um numerische Daten am Computer sinnvoll und richtig verarbeiten zu können.

Programm	Eingabe	Precision	Resultat	Ergebnis
Mathematica		infinity	1783	richtig
	36 Stellen	117	1783	richtig
	35 Stellen	113	0.	falsch
	17 Stellen	57	0.E+13	falsch
	16 Stellen Maschinengenauigkeit	53	7.180560037061026E+20	falsch
Taschenrechner			7.72150606491E-03	falsch
Turbo C	Single precision	24	1.01146705423582961E+29	falsch
	Double precision	53	7.72150606490891022E-03	falsch

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