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7.1.3 Wiederholung der Grundlagen

In diesem Kapitel wird versucht, nocheinmal das Wissen aufzufrischen, das wir uns in der Mittelschule erworben haben, um einfache Probleme der Integralrechnung zu lösen. Nach den vorhergehenden Kapiteln haben wir uns ein wenig theoretisches Wissen angeeignet, in dieser Sektion jedoch werden einige mathematische Werkzeuge zur Verfügung gestellt, um in der Praxis integrieren zu können. Damit das Bestimmen von (bestimmeten) Integralen möglich wird, wurden eine Menge von Regeln gefunden, die alle die Aufgabe haben, aus der differenzierten Funktion y' die ursprüngliche Funktion y = f(x), welche als die Stammfunktion bezeichnet wird, zu berechnet.

An dieser Stelle soll ein Beispiel das gesagte (geschriebene) veranschaulichen:
Gegeben ist die differenzierte Funktion y' = 2x

Also:

Integral 2x dx = ? wobei man folgende Bezeichnung eingeführt hat:
2x... Integrant
x... Integrationsvariable

Die Funktion y' = 2x soll also Integriert werden. Da die Ableitung einer Konstanten Null ist , kommen zum Beispiel folgend Funktionen y = f(x) in Frage:

y = x2 - 1
y = x2 + 5
y = x2 + 12345
y = x2 + 0

also allgemein

$\matrix \int 2x & dx & =? & \Rightarrow & y=x^2+C & \left( C\in R\right) \endmatrix $

mit C... Integrationskonstante.

Da aber nicht so einfach irgendein Term als Lösung angeschrieben werden kann (wäre zwar schön, aber sinnlos), hat auch bei der Integralrechnung jedes Ding seine Ursache. Im obigen Beispiel wurde einfach ohne Beweis die Ziffer 2 im rechten Term weggelassen. Das erfolgte aber mit gutem Grund: Der Zweier wird zur Potenz erhoben, da die Ableitung von x2 immer 2x ergibt (wir erinnern uns: Integrtion ist Umkehrung der Differentation).

Folgende Formel, die sich auf das bis jetzt gelernte stützt, stell die Basis für alles Weiter dar:

$\matrix \int & x^n & dx & = & \frac{x^{n+1}}{n+1}+C & ,n\neq -1\endmatrix $

Mit Ihrer Hilfe kann man eine ganze Reihe von Rechenvorschriften generieren, die das Lösen von Integralen erleichtert oder erst möglich macht. Im folgenden sind einiger solcher Formeln aufgezählt:

$\matrix \int a & f\left( x\right) & dx\endmatrix =\matrix a & \int f\left( x\right) & dx\endmatrix $

Dies besagt also, daß man eine Konstante vor das Integral setzen kann, was meist zu einer Erleichterung des Rechenvorganges führt

$\matrix \int \left( f_1\left( x\right) \pm f_2\left( x\right) \right) & dx & = & \int f_1\left( x\right) & dx & \pm & \int f_2\left( x\right) & dx\endmatrix $

Eine algebraische Summe wird integriert, indem man jedes Glied der Summe einzeln integriert.

$\matrix \int \frac 1x & dx & = & \ln \left| x\right| & +C\endmatrix $

DAS ist ein Spezialfall, den wir einfach so glauben.

$\matrix \int e^x & dx & = & e^x & +C\endmatrix $

$\matrix \int a^x & dx & = & \frac{a^x}{\ln a} & \matrix +C & ,\matrix a\in R^{+}, & a\neq 1\endmatrix \endmatrix \endmatrix $

$\matrix \int \frac{f^{/}\left( x\right) }{f\left( x\right) } & dx & = & \ln \left| f\left( x\right) \right| & +C\endmatrix $

$\matrix \int f^{/}\left( x\right) & e^{f\left( x\right) } & dx & = & e^{f\left( x\right) } & +C\endmatrix $

$\matrix \int f^{/}\left( x\right) & a^{f\left( x\right) } & dx & = & \frac{a^{f\left( x\right) }}{\ln a} & +C, & a\in R^{+}, & a\neq 1\endmatrix $

Obige Formeln lassen sich mittels Differentialrechnung herleiten.

Anschließend noch ein paar trigonometrische Funktionen:

$\matrix \int \sin \left( x\right) & dx & = & -\cos \left( x\right) & +C\endmatrix $

$\matrix \int \cos \left( x\right) & dx & = & \sin \left( x\right) & +C\endmatrix $

$\matrix \int \frac{dx}{\cos ^2x} & dx & = & \tan \left( x\right) & +C\endmatrix $

Natürlich kann man auch Funktionen Integrieren, die eine differenzierte Funktion enthalten:

$\matrix \int f^{/}\left( x\right) \sin f\left( x\right) & = & -\cos f\left( x\right) & +C\endmatrix $

$\matrix \int \frac{f^{/}\left( x\right) }{\cos ^2f\left( x\right) } & = & \tan f\left( x\right) & +C\endmatrix $

$\matrix \int \frac{f^{/}\left( x\right) }{\cos ^2f\left( x\right) } & = & \tan f\left( x\right) & +C\endmatrix $

Und hier noch ein Lösungasansatz für die Partielle Integration:

$\matrix \int u & dv & = & uv & - & \int v & du & +C\endmatrix $

Das bestimmte Integral kann durch die Fläche dargestellt werden, die von der Funktionskurve y = f(x) , von den Ordinaten x1 = a und x2 =b und von der x-Achse begrenzt wird (seihe Bild 7.1.1).

Erweitert man die Funktionalität der Integration dahingehend, daß man auch eine Rotation einer Funktion um eine beliebige Achse zuläßt, so können auch Volumina von komplexen Drehkörpern errechnet werden. Für die Berechnung eines durch eine Kurve eingeschlossenes Volume lassen sich in Abhangigkeit zur Drehachse folgende Formeln angeben:

Rotation um x-Achse

$\matrix V_x & = & \pi \int_{x1=a}^{x2=b} & y^2 & dx\endmatrix $

Rotation um Y-Achse

$\matrix V_y & = & \pi \int_{y1=a}^{y_{2=b}} & x^2 & dy\endmatrix $

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