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7.1.1 In welchen Fällen kommt Integration zum Einsatz?


Flächen und Volumsberechnungen gehören zu den ältesten Aufgaben der Mahematik. Bereits im antiken Griechenland beschäftigten sich Mathematiker mit der "Quadratur", der Verwandlung von Flächen in flächengleiche Quadrate.

Aber nicht nur zur Berechnung von Flächen findet die Integration einen Anwendung, auch in vielen anderern Teilgebierten, z.B. in der Elektrotechnik, wo mittels Integration versucht wird, die Wärmeenergie inner halb eines Baustoffes zu bestimmen, ober in der Werkstoffprüfung, wo die Kerbschlagzähigkeit eines Materials mittels bestimmten Integrales bestimmt wird. Aber auch in anderen Bereichen, wie etwa der Dynamik, Statik oder Nachrichtentechnik findet man die Integration. Man könnte sogar sagen, das Integral ist allgegenwärtig, da die meisten Vorgänge mittels Integrale beschrieben werden können

In Bild 7.1.1 ist ein anschauliches Beispiel dafür dargestellt, wie man sich die Integration vorstellen kann. Das zu untersuchende Intervall der Kurve wird in kleine Teilbereiche (dx) zerlegt und für jedes dieser so entstandenen Rechtecke (eigentlich Trapeze) die Fläche errechnet und diese Teilflachen anschliessend addiert.

Hier würden Sie eine 2D-Funktion sehen!

Bild 7.1.1

Die Methode, eineFunktion in kleine Teilbereiche zu zerlegen und diese Teilsummen zu addieren, erscheint als die natürlichste. In der Mathematik nennt man solch einen Vorgang die Bildung der Riemann-Summe. Eigentlich hat jeder schon einmal mit solchen Summen gearbeitet, deren Grenzwert das bestimmte Integral ist: in der Grundschule wurden die Flächen von einfache geometrische Figuren berechnet und diese dann addiert. Als Beispiel wäre die Bestimmung der gemeinsame Flächeninhalt zweier Quadrate zu nennen. Diese Bildung der Flächeninhalte, die damals mit der Formel Aq = a*b berechneten Teilquadrate könnet man auch mit Integralen über die Bereiche b1 und b2 berechnen. Allerdings muß man bei der Integration sehr genau auf die gewählten Integrationsbereiche achten, da sonst das Ergebnis inkorrekt ist. Die Fläche eines Quadrates ist imme positiv, wird aber der Integrationsbereich so gewählt, daß von b nach a ( laut Bild 7.1.1) integriert wird, so erhält man eine negative Fläche. Wie ist das Möglich? Der Grund dafür liegt bei der Definition des bestimmten Integrals:

$\matrix \int_a^bf\left( dx\right) & = & \left[ f\left( x\right) \right] _a^b

Damit wirda also ein Funktionswert vom anderen Abgezogen. Ist f(a) also größer als f(b), so kann es zu negativen Flächen kommen.

Natürlich besteht auch die Möglichkeit, dieses Modell auf drei oder mehr Ebenen zu erweitern.

Und hier würden Sie eine tolle 3D-Funktion sehen!

Jeder kennt die Formel für die Berechnung des Volumens einer Kurve. Aber wie kam man auf diese Definition: auch hier wurde mit dem Integral gearbeitet. Es kommt ein Spezialfall des Integrals zum Einsatz, nämlich das Rotationsintegral. Man läßt eine Funktion um eine Achse rotieren und berechnet das dadurch entstandene Volumen. Wie? Man zerlegt auch bei diesem Modell wieder die entstandene geometrische Figur in Teilbereiche, allerdings sind diese hier nicht mehr Rechtecke sondern Zylinder mit sehr geringer Höhe. Man kann sich auch eine Reihe von Kreisen vorstellen, die eine kleine "Dicke" haben. Es wird also versucht, die Summe der Volumen dieser Zylinder (oder Kreise mit Volumen) zu addieren. Und wie geht das leichter als mit einem Integral? Gar nicht!

Also wurden folgende Methoden zur bestimmeund der Flächeninhalte konstruiert:

Rotation um die x-Achse:

$\matrix V_x & = & \pi \int_{x1=a}^{x2=b} & y^2 & dx\endmatrix $

Rotation um die y-Achse:

$\matrix V_y & = & \pi \int_{y1=a}^{y_{2=b}} & x^2 & dy\endmatrix $

Damit lässt sich zum Beispiel sehr schön das Volumen einer Kugel berechnen, wenn man

y^2=r^2-x^2

und das Intervall von 0 bis 1 nimmt.

(Ruhig einmal ausprobieren... es kommt das richtige heraus)

Prinzipiell muß noch zwischen drei Arten der Integration unterschieden werden


Manuelle analytische Integration


Wenn es gelingt, ein unbestimmtes Integral (eine Stammfunktion) F von f zu finden, das sich durch elementare Funktionen darstellen läßt, dann erhält man den Wert des bestimmten Integrals direkt aus dem Hauptsatz der Differential und Integralrechnung

If = F(b) - F(a)

Man kann dann mittels Partialbruchzerlegung den Integranten so umformen, daß sich f aus "einfachen" unbestimmten Integralen zusammensetzt. Diese sind dann auf einfache Art zu lösen. Der Nachteil der manuellen Integration ist aber der, daß diese Form sehr zeitaufwendig und fehlerhaft ist, da durch die Partialbruchzerlegung teilweise sehr komplexe Funktionen erzeugt werden. Als Alternative dazu wurden Tabellen erstellt, welche das Rechnen auf einfaches Nachschlagen reduzieren sollten. Allerdings waren diese Nachschlagwerke sehr Fehleranfällig, was eine Untersuchung ergab, laut der eine Fehlerhäufigkeit von 5% auftrat.

Auch existieren für viele in der Praxis auftretende Funktionen keine explizite Formeln für die unbestimmten Integrale oder der Integrant ist keine Formel, sondern nur durch eine Tabelle von Datenpunkten gegeben. Solche Probleme können dann nicht analytisch gelöst werden.


Symbolische Integration


Wenn der Integrant in geschlossener Form analytisch (als Formel) gegeben ist kann man Computer-Algebrasysteme zur sysmbolischen Integration verwenden.

Auch hier gelten wieder Einschränkungen (beinehe dieselben wie bei der manuellen Integration)

  1. Es existieren für viele Funktionen keine elementar darstellbaren Stammfunktionen, solche Fälle werden jedoch von Algebrasystemen automatisch erkannt, da Algorithmen existierne, die für jede elementare Funktion feststellen, ob sich deren unbestimmtes Integral wieder als elementare Funktion ausdrücken läßt.

    Das folgende Integral, das keine elementare Funktion aufweist, wird z.B. von Mathematica erkannt:

    $\matrix \int \sin \left( \sin \left( x\right) \right) & dx\endmatrix $


  2. Mehrdimensionale Integrale sind nur dann symbolisch lösbar, wenn sie als iterierte Integrale ausdrückbar sind, wobei sowohl der Integrant als auch die Integrationsgrenzen explizit analytisch gegeben sein müssen.


  3. Computer-Algebrasysteme liefern manchmal die Stammfunktion F in einer Form, die auf dem Integrationsbereich unnötige Störungen aufweist. Als beispiel seien hier forgende Fälle aufgezeigt:

    Bei der Berechnung von

    $\matrix I\left( f;\left[ a,b\right] \right) & = & \int_a^b & \frac 3{5-4*\cos

    kann man die Stammfunktion des Integranten ermitteln. Man erhält jedoch die folgenden Ausdrücke, von denen keiner stetig ist

    Maple, Mathematica F(x) = 2 arctan (3 tan x/2)
    Macsyma F(x) = 2 arctan (3 sin x /(cos x +1))
    Axiom F(x) = -3 sin x /5 cos x - 4))


  4. Selbst wenn wenn durch ein Programm zur Symbolmanipulation das unbestimmte Integral korrekt bestimmt werden kann, treten bei der Auswertung der Stammfunktion F numerische Schwierigkeiten auf wie z.B.


  5. Die symbolische Auswertung der Stammfunktion F und die nachfolgende Auswertung von F an den Endpunkten des Integrationsintervalls sid gewöhnlich bei weitem Aufwendiger als die Berechnung des entsprechenden bestimmten Integrales durch numerische Methoden.

    Beispiel Mathematica: Die symbolische Bestimmung eines gegebenen Integrals dauerte auf einer Workstation 6 Sekunden. Mit Hilfe einer numerischen Methode (Gauß-Kronrod-Formel) konnte die Auswertung innerhalb 10 Millisekunden durchgeführt werden.


Trotz dieser Nachteile sind symbolische Integrationsmethoden im Bereich von unbestimmten Integralen von großer Bedeutung, da in diesen Fällen numerische Methoden grundsätzlich nicht angewendet werden.


Numerische Integration


Aus all den oben genannten Gründen ist es oft zweckmäßig, das Problem numerisch zu lösen. Die in desem Kapitel behandelten Methoden basieren auf diesen numerischen Problemen.

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