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Gewichtete Normen

Verwendet man die bisher besprochenen Normen zur Definition einer Distanzfunktion $D_{p}$ , so geht man implizit davon aus, daß jeder Funktionswert f(t) bzw. jeder Datenpunkt $u_{i}$ die gleiche Bedeutsamkeit besitzt und daher keine spezielle Gewichtung einzelner Werte erforderlich ist.

Es gibt Fälle, wo a priori bekannt ist, daß z.B. einzelne Datenpunkte durch genauere Messungen gewonnen wurden, während andere mit größeren Meßfehlern behaftet sind. In einer solchen Situation sollte eine Gewichtung der Datenpunkte erfolgen: Gewichte w_{i} > 0 bzw. Gewichtsfunktionen w(t) > 0 sollten den Datenpunkten so zugeordnet werden, daß genauere Werte einen größeren Einfluß auf das Entfernungsmaß $D_{p,w}$ erhalten als ungenauere Werte. Dazu benötigt man

gewichtete l_p -Normen

\begin{eqnarray*} \|u - v\|_{p,w} & := & \left(\sum\limits_{i=1}^k (w_i \cdot |u_i - v_i|)^p \right)^{1/p}, \quad p \in [1,\infty), \\ \|u - v\|_{\infty,w} & := & \max \, \{ w_1 \cdot |u_1 - v_1|, \dots, w_k \cdot |u_k - v_k| \} \end{eqnarray*}

bzw. gewichtete L_p -Normen

\begin{eqnarray*} \|f - g\|_{p,w} & := & \left(\int\limits_a^b (w(t) \cdot |f(t) - g(t)|)^{p} dt \right)^{1/p}, \, p \in [1,\infty), \\ \|f - g\|_{\infty,w} & := & \max \, \{ w(x) \cdot |f(x) - g(x)|: x \in [a,b] \}. \end{eqnarray*}

Die Wahl der Gewichtung kann etwa auf Schätzungen der absoluten Genauigkeit der y-Werte - z.B. ausgedrückt durch Schätzungen der Streuung - beruhen. Die Gewichte werden dann in diesem Fall umgekehrt proportional zur Genauigkeitsschätzung gewählt.

* * *

Beispiel:

 relative Genauigkeit

Wenn bekannt ist, daß die relative Genauigkeit aller y-Werte gleich ist, d.h., wenn die absolute Genauigkeit aller y-Werte proportional zu y ist, dann können die Gewichte im Vektorfall folgendermaßen definiert werden:

w_{i} := c/|y_{i}|, \quad \mbox{falls} \quad |y_{i}| > 0,

wobei c > 0 eine beliebige Konstante ist.

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