Definition: Linearkombination

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Definition: Normierter Raum

Eine Menge heißt ein linearer normierter Raum oder normierter Raum, wenn ein linearer Raum ist und jedem Element aus eine eindeutig bestimmte nichtnegative Zahl ||v|| - die Norm von - zugeordnet ist, die folgende Eigenschaften hat:

1. $\|v\| = 0$ genau dann, wenn ist (Definitheit),
2. $\|\alpha v\| = |\alpha| \cdot \|v\|,$ , $\qquad \alpha \in \R \quad \mbox$ oder $\quad \alpha \in \C$ C (Homogenität),
und 3. $\|v_{1}+v_{2}\| \le \|v_{1}\| + \|v_{2}\|$ (Dreiecksungleichung).

Die geometrische Interpretation der Norm eines Vektors ist seine Länge. Auf Grund ihrer Eigenschaften kann mit jeder Norm eine Metrik definiert werden:

$D(u,v) := \|u - v\|.$

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	1.	$\\|v\\| = 0$ genau dann, wenn ist	(Definitheit),
	2.	$\\|\alpha v\\| = \|\alpha\| \cdot \\|v\\|,$ , $\qquad \alpha \in \R \quad \mbox$ oder $\quad \alpha \in \C$ C	(Homogenität),
und	3.	$\\|v_{1}+v_{2}\\| \le \\|v_{1}\\| + \\|v_{2}\\|$	(Dreiecksungleichung).