Definition: Linearkombination

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Definition: Linearer Raum, Vektorraum

Eine Menge heißt ein linearer Raum oder Vektorraum,

wenn

1. in eine Addition definiert ist, für die eine abelsche Gruppe bildet,

2. für alle Elemente $v\in M$ eine Multiplikation mit reellen (oder komplexen) Zahlen $\alpha$ definiert ist, für die folgende Axiome erfüllt sind:

(a) $\alpha (v_{1} + v_{2}) = \alpha v_{1} + \alpha v_{2}\quad$ und

$(\alpha_{1} + \alpha_{2})v = \alpha_{1} v + \alpha_{2} v$ , (Distributivität)

(b) $(\alpha_{1} \alpha_{2}) v = \alpha_{1} (\alpha_{2} v)$ , (Assoziativität)

(c) $1 \cdot v = v$ .

* * *

Beispiele:

Lineare Räume

Die Menge der n-TupeI $(\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n)$ mit reellen $\alpha_i$ und den Verknüpfungen

$(\alpha_1,\dots,\alpha_n) + (\beta_1,\dots,\beta_n) & := & (\alpha_1+\beta_1, \dots, \alpha_n+\beta_n)\\ \alpha (\alpha_1,\dots,\alpha_n) & := & (\alpha\alpha_1, \dots, \alpha\alpha_n)$

ist ein linearer Raum, der mit $\R^{n}$ bezeichnet wird. Die übliche Terminologie dieses Raumes, insbesondere die Bezeichnungen Vektor und Punkt, wird auch bei anderen linearen Räumen verwendet.

Die Menge aller stetigen Funktionen, die auf einem Intervall [a, b] definiert sind, ist ein linearer Raum, der mit C[a, b] bezeichnet wird.

Die Menge aller auf einem Intervall [a, b] m-mal stetig differenzierbaren Funktionen ist ein linearer Raum, der mit C^m[a,b] bezeichnet wird.

Die Menge aller Funktionen $f(t)$ , für die

$\int \limits_{a}^{b} |f(t)|^{p} \, dt \qquad \mbox{bzw.} \qquad \int \limits_{-\infty}^{+\infty} |f(t)|^{p} \, dt$ bzw. (8.10)

existiert, ist ein linearer Raum, der mit ${\cal L}^{p}$ [a, b] bzw. ${\cal L}^{p}$ bezeichnet wird. Strenggenommen müßten die in (8.10) auftretenden Integrale als Lebesgue-Integrale interpretiert werden. Im Rahmen der folgenden Betrachtungen kann jedoch ohne gravierende Einschränkungen an ,,gewöhnliche" Integrale - Riemann-Integrale - gedacht werden.

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1.	in eine Addition definiert ist, für die eine abelsche Gruppe bildet,
2.	für alle Elemente $v\in M$ eine Multiplikation mit reellen (oder komplexen) Zahlen $\alpha$ definiert ist, für die folgende Axiome erfüllt sind:
	(a) $\alpha (v_{1} + v_{2}) = \alpha v_{1} + \alpha v_{2}\quad$ und
	$(\alpha_{1} + \alpha_{2})v = \alpha_{1} v + \alpha_{2} v$ , (Distributivität)
	(b) $(\alpha_{1} \alpha_{2}) v = \alpha_{1} (\alpha_{2} v)$ , (Assoziativität)
	(c) $1 \cdot v = v$ .