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3.7.2 Rundungsfehler


Hier ist offenbar interessant, wie stark ax von x abweichen kann.
Abhängig ist das in erster Linie von der benutzten Arithmetik in F, welche ja die wirkliche Arithmetik in R modelliert.
Der absolute Rundungsfehler, so heißt die Abweichung von ax von x, wird folgendermaßen definiert:
\[{{{\it x1} + {\it x2}}\over 2}\]
und der relative Rundungsfehler:
\[ {{{\it ax} - x}\over x}\]

Hierbei kann man nun Schranken definieren, welche je nach Rundungsfehlerberechung anders aussehen können:
Man unterscheidet

1) Schranken für absolute Rundungsfehler

Hier kann man generell sagen, daß der Betrag |e(x)| offenbar durch Dx,welches die Länge des kleinsten x einschliessenden Intervalls [x1,x2],x1,x2 e F, begrenzt wird.
Dadurch gilt für den absoluten Rundungsfehler:
LaTex - Code

wobei der obere Teil der Formel für gerichtete Rundungen und Abschneiden gilt und der untere Teil der Formel für die optimale Rundungsart seine Gültigkeit besitzt. Ein Beispiel für absolute Rundungsfehler durch Abschneiden und optimale Rundung zeigt folgende Anwendung des Gleitpunktzahlensystems Fn (2,3,-1,2) Dieses System hat zur Basis die positiven Zahlen und folgende Funktion:
LaTex - Code
Daraus ergeben sich die folgenden dargestellten Verläufe der oben genannten Funktion, welche wegen des Treppencharakters der Funktion ax stückweise linear ist.
LaTex - Code
und
LaTex - Code

2) Schranken für relative Rundungsfehler

Hierbei muß gesagt werden, daß die Schranken für den relativen Rundungsfehler p(x) für ganz Rn gelten. Dabei ergibt sich folgende Form:
LaTex - Code

Hier gilt ebensfalls wieder, daß der obere Teil der obrigen Formel für gerichtete Rundungsfehler und Abschneiden und der untere Teil für optimale Rundungen gilt. Auch hier kann man, wie schon bei den absoluten Rundungsfehler, den Verlauf der Funktion visualisieren. Das Gleitpunktzahlensystem bleibt hierbei gleich.
LaTex - Code

weitere Beispiele für Rundungsfehler in der täglichen Computeranwendung: Bei IEC/IEEE-Arithmetik mit einfach genauer Arithmetik gilt:
LaTex - Code

was einer relativen Genauigkeit von sieben Dizimalstellen entspricht. Bei IEC/IEEE-Arithmetik mit doppelt genauer Arithmetik gilt:
LaTex - Code

Dies entspricht einer etwa doppelt genaueren Berechnung (15 Dezimalstellen) als bei einfach genauen Arithmetik. Bei IBM System/390 gilt einfach genaue Arithmetik,welche sich sehr stark auf die Genauigkeit auswirkt. In der folgenden Formel kann man im Vergleich zu den oben genannten den Unterschied feststellen:
LaTex - Code

Dies entspricht einer Genauigkeit von nur etwas mehr als 6 Dezimalstellen. Aus den oben besprochenen Formalismen können wir nun folgende allgemeingültige Formel ableiten:
Für jedes x e Rn gibt es ein p e R mit
ax = x*(1+p) und |p| <= eps

Man sollte aber auch bedenken, daß bei einer Verwendung einer Schranke für den relativen Rundungsfehler meist größer sind als in Wirklichkeit. Sofern mehr Informationen über Matisse oder Basis vorliegen, kann sich die Lage weitgehend entschärfen.
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