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Abschätzung der relativen Konditionszahlen linearer Probleme

Im folgenden werden relative Konditionszahlen linearerinverser Probleme (z.B. linearer Gleichungssysteme) angegeben. Für lineare Operator und $\Delta F$ gilt für eine Menge B die eine nichtleere offene Kugel $S_\delta(x_0)$ um einen Punkt $x_0\in B$ enthält:

$\Lip(F,B) = \| F \|$ , $\Lip(F^{-1},B) = \| F^{-1} \|$ und $\Lip(\Delta F,B) = \| \Delta F \|,$
d.h., die Lipschitz-Normen gehen in diesem Fall in die Abbildungsnormen über die Abhängigkeit von B entfält, und man erhä in einfacher Weise relative Konditionsabschätzungen.
Auswirkungen der Störungen von y
nimmt man an, daß nur y gestört ist ( F bleibt ungestört: $\Delta F$ = 0); so erhält man

$\| \Delta x \| \le \Lip(F^{-1},B) \| \Delta y \| = \| F^{-1} \| \| \Delta y \|$ und zusammen mit $\| y \| = \| Fx \| \le \| F \| \| x \|$
schließlich $\frac{\| \Delta x \|}{\| x \|} \le \| F \| \| F^{-1} \| \frac{\| \Delta y \|}{\| y \|}$ .

Auswirkung der Störungen von F

Wenn nur Störungen der Funktion F berücksichtigt werden( y bleibt ungestört, sodaß $\Delta y$ = 0 gilt) erhält man

Aus beiden Abschätzungen, d.h. bei beiden Arten der Störung eines linearen inversen Problems, erhält man $\| F \| \| F^{-1} \|$ als Konditionszahl, wobei aber der relative Fehler auf die gestörte Lösung $\bar{x}$ bezogen ist. Die analoge Formel, bei der der relative Fehler auf x bezogen ist, folgt mit $$\Delta y $ ALIGN=$ = 0:
$%\label{eqn:1.2-48} \frac{\| \Delta x \|}{\| x \|} \le \frac{\| F \| \| F^{-1} \|}{1 - \| F^{-1} \| \| \Delta F \|} \frac{\| \Delta F \|}{\| F \|}.$
Relative Konditionsabschätzungen sind auch im nichtlinearen Fall möglich , falls geeignete Abschätzungen der Form

$\| \Delta Fx \| \le M(\Delta F) \| x \| \qquad \$ und $\| Fx \| \le M(F) \| x \|$ vorliegen, falls sich also die Funktionen F und $\Delta F$ im betrachteten Gebiet B "ähnlich" linearen Abbildungen verhalten

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