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Numerische Probleme

Eine Entkopplung numerischer Verfahren von konkreten Anwendungsproblemen ist möglich, wenn man die Genauigkeitsforderungen in die Problemstellung mit einbezieht. Während z.B. das mathematische Problem beim Pendel darin bestand, die Periodenlänge bestimmter Lösungskurven der Differentialgleichung (2.2) zu ermitteln, so lautet nunmehr die Aufgabenstellung, einen Näherungswert für die Periodenlänge zu bestimmen, der sich um nicht mehr als eine vom Anwender vorgegebene Fehlerschranke (Toleranz) von der exakten Periodenlänge unterscheidet.

Die Kombination
Mathematisches Problem (konstruktiver Art) plus
Genauigkeitsforderung für die Ergebnisse

wird im folgenden als numerisches Problem bezeichnet.
Beispiel (Pendel)
Für das vollständige elliptische Integral (2.6) könnte ein spezielles numerische Problem z.B. lauten:
[...]

Je kleiner die Fehlerschranke [epsilon] angesetzt wird, desto aufwendiger wird es, das numerische Problem zu lösen. So kann z.B. eine Fehlerschranke [epsilon] = 10e-9 auf den meisten Rechnern nur unter Verwendung einer doppelt genauen Programmversion erreicht werden.

[wildes Diagram]

Dieses Beispiel zeigt einen wichtigen Unterschied zwischen mathematischen und numerischen Problemen: Bei eindeutig lösbaren mathematischen Problemen gibt es unter Umständen verschiedenartige Darstellungen der Lösung, diese sind jedoch mathematisch äquivalent. Einem mathematischen Problem entsprechen aber im allgemeinen viele verschiedene numerische Probleme, und jedes numerische Problem besitzt seinerseits wieder eine Vielzahl von Lösungen. Für das konkrete Lösen numerischer Probleme stehen vielfältige Wege und Mittel zur Verfügung, die von der Entwicklung eigener Algorithmen und und derer Implementierung bis zur Verwendung fertiger Software reichen (siehe Abb. 2.7).
Notwendigkeit von Fehlerschätzungen
Außer bei Test- und Musterbeispielen kennt man in der Praxis selbstverständlich die exakte Lösung des gestellten Problems nicht - sonst wäre ja eine numerische Problemlösung überflüssig. Da das numerische Problem eine Genauigkeitsforderung enthält, müssen numerische Lösungsverfahren einen Fehlerschätzungsmechanismus enthalten, dessen Resultate - die Fehlerschätzungen - zur Steuerung des Verfahrens verwendet werden können.

Beispiel (Pendel)
ist nicht nicht weiter aktuell...

Wenn man zur Berechnung des Integrals (2.6) ein numerisches Integrationsprogramm einsetzt, muß man die Genauigkeitsforderungen an das Integrationsprogramm weitergeben, das seinerseits über einen Fehlerschätzungsmechanismus verfügen muß.
[...]
Verfahren ohne Fehlerschätzung

Bei einigen Problemtypen, z.B. bei der Lösung von linearen Gleichungssystemen, würde das algorithmisch-numerische Lösungsverfahren bei exakter Rechnung das Resultat des mathematischen Problems liefern. Abhängig von den Eigenschaften des Lösungsverfahrens und den speziellen Daten des Problems kann aber die Implementierung eines solchen Algorithmus auf einem Computer zu einem numerischen Resultat führen, dessen Fehler so groß ist, daß die Genauigkeitsforderung mancher numerischen Probleme nicht mehr eingehalten werden kann. Meist ist es in solchen Fällen - z.B. der direkten (nicht-interaktiven) Lösung linearer Gleichungssysteme - aber nicht möglich, die Genauigkeitsforderungen als Parameter des Verfahrens festzulegen, da eine programmgesteuerte Anpassung der Genauigkeit der Maschinenarithmetik an die Besonderheiten eines konkreten numerischen Problems oft zu aufwendig oder nicht zu verwirklichen ist.

Ein wesentlicher Teil derartiger Verfahren ist deshalb die Ermittlung von speziellen Kenngrößen (z.B. Konditionsschätzungen oder Fehlerschätzungen), mit deren Hilfe der Anwender entscheiden kann, ob das erhaltene numerische Resultat für seine Zwecke brauchbar ist.

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