[ < ] [ globale Übersicht ] [ Kapitelübersicht ] [ Stichwortsuche ] [ > ]

Einführung

Am Anfang einer neuen Lehrveranstaltung sollte jeder Student und jeder Vortragende fragen, welchen Sinn diese Lehrveranstaltung hat.
Nun, was ist numerische Mathematik, und warum brauchen Informatiker diese Lehrveranstaltung? Im Gegensatz zur nicht-numerischen Datenverarbeitung, in der Algorithmen richtige oder falsche Ergebnisse liefern, wie zum Beispiel beim Sortieralgorithmus, wo entweder nachher die Werte richtig sortiert sind oder nicht, sind in der Numerischen Datenverarbeitung, grundsätzlich eine oder mehrere reelle Zahlen das Ergebnis, die eine gewisse Fehlerschranke haben . Das Problem bei der Numerischen Datenverarbeitung ist, daß man die meisten Probleme nicht in endlich vielen Schritten lösen kann. Ein Beispiel dazu wäre das Ermitteln einer unendlichen Summe. Ein Algorithmus kann mehr oder weniger gute Approximationen liefern. Des weiteren soll man nicht vergessen, das beim Lösen eines mathematischen Problems eine Modellabbildung stattfindet, damit man ein numerisches Problem bekommt, um dort eine numerische Lösung zu ermitteln, und daß diese Lösung nur eine Näherungslösung für das angegebene mathematische Problem ist. Das Ergebnis einer numerischen Aufgabe sind grundsätzlich eine oder mehrere reelle Zahlen. Dabei ist es natürlich von Interesse, ob der errechnete Wert keinen zu großen relativen, oder absoluten Fehler aufweist, und wie groß die Fehlerschranke ist.

Beispiel:
numerisch Errechneter Wert: A = 100.000 tatsächlicher Wert: 99.993
numerisch Errechneter Wert: B = 4 tatsächlicher Wert: 3,9
Absoluter Fehler der Zahl A ist 7, und der relative (100.000-99.993)/100.000 = 0,00007 und der absolute Fehler der Zahl B ist 0,1, und der relative Fehler ist (4-3,9)/4 = 0,025. Der relative Fehler der Zahl A ist wesentlich kleiner.

Den ohne Wissen über die Fehlerschranken ist jedes Ergebnis relativ sinnlos. Für den Informatiker ist grundsätzlich von Interesse, daß man im Computer keine isomorphe Abbildung der Wirklichkeit vornehmen kann. So sind die Maschinenzahlen im Computer endlich, im Gegensatz zu den reellen Zahlen. Des weiters gelten viele uns seit der Schulzeit vertraute Rechenregeln nicht mehr. So ist das Kommutativgesetz außer Kraft gesetzt.

Beispiel:
Wir verwenden in diesen Beispiel einen Rechner, der auf 4 Dezimalstellen genau rechnen kann.
Zählt man zu eins eins dazu so erhält man zwei, wenn man nun diese ganze Procedure 1.000.000 durchführt kommt man auf 1.0 E 6. Zählt man nun weitere 1.0 E 6 hinzu so ergibt das 2.0 E 6.
Andererseits, wenn man 1.0 E 6 nimmt und 1 hinzufügt, so macht der Rechner der nur auf 4 Dezimalstellen rechnet einen Rundungsfehler und rundet auf 1.0 E 6 (1.000.000) ab. Führt man diese Procedure 1.000.000 durch, so bleibt das Ergebnis 1.0 E 6, da der Rechner jedesmal abrundet.
Offensichtlich gibt es Unterschiede zwischen den Ergebnissen.

Weiters ist es wichtig für den Informatiker, inwieweit seine Algorithmen beim Rechnen stabil sind. So könnte es sein, das sich kleine Fehler beim Weiterrechnen fortpflanzen.
Damit dem Informatiker nicht unliebsame Überraschungen ins Hause stehen, sollte er zumindests die Grundreglen der Numerik beherschen.


[ < ] [ globale Übersicht ] [ Kapitelübersicht ] [ Stichwortsuche ] [ > ]