kann man auf zwei Arten interpretieren:
Auf Systeme nichtlinearer Gleichungen übertragen wird die Näherung A(x,h) für F'(x) gebildet, wobei jede Spalte S(i) der n mal n Matrix A(x,h) durch eine Diskretisierungsschrittweitenfunktion h(i)(x) errechnet wird:
i = 1,2,3... n
e(i) ist der i-te Einheitsvektor
Die Diskretisierungsschrittweite wird je nach Methode anders errechnet;
eine Möglichkeit:
L(x) = a(i)Tx + ci.
Der Schnittpunkt aller Ebenen mit der Hyperebene y = 0 ist der Vektor für den nächsten Iterationsschritt x(k+1).
Beispiel: Wir nehmen ein eindimensoinales Problem (n = 1), also eine Funktion im zweidimensionalen Raum:
Der Schnittpunkt von l0 mit y = 0 ergibt dann den Vektor
für den nächsten Iterationsschritt. Also x1 = 5/3.
Daraus nehmen wir die Punkte x1,0 = 7/6 und x1,1 = 13/6 und berechnen l2 aus (x1,0; f(x1,0)) und (x1,1; f(x1,1)).
So enger die Punkte x(k,j) zu einander sind, um so genauer ist die Nährung.
Beispiel: Wir nehmen ein zweidimensoinales Problem (n = 2), also eine Funktion im dreidimensionalen Raum.
u(k),v(k)
k = 0,1,..
Je nach Methode wird u,v anders berechnet. Beim Broyden- Verfahren werden u,v so gewählt, daß sie sich der Sekantenschrittweite h nähern. Diese Sekantenapproximation verringert den Rechenaufwand des Newtonverfahrens von O(n3) statt O(n2).