Binder
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Einleitung :
Die meisten realen Abhängigkeiten sind nichtlinear.
Bei einem beträchtlichen Teil praktischer Problemstellungen kann man die zu untersuchenden nichtlinearen Zusammenhänge lokal durch lineare Modelle ausreichend genau beschreiben.
Es gibt aber auch Phänomene die nur durch nichtlineare Modelle beschrieben werden.
Nichtlineare Modelle führen bei der Auswertung in der Regel auf nichtlineare Gleichungen.
Von einfachen Spezialfällen abgesehen lassen sich nichtlineare Gleichungen nicht in geschlossener Form lösen.
Lösungen können im allgemeinen auch nicht in endlich vielen Schritten gefunden werden.
Deshalb erfolgt die Lösung nichtlinearer Gleichungen ausschließlich numerisch und zwar
durch Iterationsverfahren.
Schwach nichtlineare Gleichungssysteme :
Wenn sich nichtlineare Modelle nur "wenig" von linearen Modellen unterscheiden, so
übertragen sich wesentliche Eigenschaften von der linearen auf die nichtlineare Problemstellung.
Nach entsprechender Verallgemeinerung kann man iterative Lösungsverfahren für lineare
Gleichungssysteme auf schwach nichtlineare Gleichungssysteme anwenden.
Stark nichtlineare Gleichungssyteme :
besitzen Eigenschaften, die durch Linearisierung verlorengehen. Derartige Gleichungen
besitzen unter Umständen im Reellen überhaupt keine Lösung (wie z.B.: e-x -sin x + 1=0)
oder unendlich viele isolierte Lösungen (wie z.B.: e-x -sin x = 0)
Im allgemeinen ist es nicht möglich, das Verhalten eines stark nichtlinearen Gleichungssystems
global zu überblicken. Man muß deshalb, um eine relevante Näherungslösung zu bestimmen,
von einem Startpunkt ausgehen, der schon "hinreichend nahe" an der gesuchten Lösung liegt.
Allgemein gilt :
Eine genaue Analyse der vorliegenden Situation für die Auswahl eines zielführenden Vorgehens ist meist unvermeidbar.
Shooting-Methode :
Das Umformen eines Randwertproblems in die Lösung eines nichtlinearen Gleichungssystems
bezeichnet man als Shooting-Methode. Die Anwendbarkeit dieser Methode hängt stark von
der zugrundeliegenden Differentialgleichung ab.
Hilfestellungen :
Speziell für die Lösung von linearen und nichtlinearen algebraischen Gleichungssystemem (und auch von Differentialgleichungen) wurde das interaktive Programmsystem TK SOLVER
entwickelt. Es ermöglicht die Problemformulierung in einer Kombination von deklarativen
und prozeduralen Sprachelementen.
Die Standardform :
Für theoretische Untersuchungen und als Vorbereitung für den Einsatz numerischer Software
bringt man Systeme oder einzelne nichtlineare Gleichungen oft in die Standardform
(Nullstellenform) :
F(x) = 0
Das bedeutet somit :
Gesucht ist ein Vektor x* aus IRn, für den alle Gleichungen
f1(x*)=0, f2(x*)=0, ..., fm(x*)=0
erfüllt sind. Es wird also ein n-Tupel (x1*, ..., xn*) gesucht, das simultan alle gegebenen
Funktionen f1, ..., fm annulliert.
Wichtige Fallunterscheidungen :
Diese ergeben sich aus der Relation zwischen der Anzahl m der Gleichungen und der Anzahl n der Unbekannten.
Fall 1 : m = n :
In diesem Fall hat das nichtlineare Gleichungssystem in den meisten praktisch auftetenden
Situationen eine oder mehrere isolierte Lösungen x*, die auch als Nullstellen der Funktion F bezeichnet werden.
Ein wichtiger Spezialfall ist m=n=1, d.h.: der Fall einer skalaren Gleichung in einer skalaren
Unbekannten.
Fall 2 : m < n :
Bei weniger Gleichungen als Unbekannten spricht man von einem unterbestimmten
nichtlinearen Gleichungssystem. Derartige Systeme besitzen meist eine (n - m)-dimensionale
Lösungsmannigfaltigkeit.
Fall 3 : m > n :
Bei mehr Gleichungen als Unbekannten spricht man von einem überbestimmten
Gleichungssystem , das im allgemeinen inkonsistent ist, also keine Lösung im herkömmlichen
Sinn besitzt. Man geht deshalb zu einem entsprechenden nichtlinearen Ausgleichsproblem über,
daß auch als Approximationsproblem bekannt ist.
Eine "Lösung" wird also in diesem Fall nach der Methode der kleinsten Quadrate bestimmt.
Das numerische Problem :
Das mathematische Problem F(x)=0 kann im allgemeinen nicht in endlich vielen Schritten
gelöst werden. Jedes praktikable Lösungsverfahren soll jedoch mit einer begrenzten Anzahl
von Rechenoperationen zu (mindestens) einem Näherungswert für die Lösung(en) führen.
Folgende Kriterien müssen erfüllt werden :
Fehler-Kriterien :
Von der absoluten oder relativen Abweichung der Näherungslösung x~ von der exakten Lösung x* wird gefordert, daß sie kleiner als eine vorgegebene Toleranz ist.
Residiuums-Kriterium :
Vom Residiuum F(x~ ) der der Näherungslösung x~ wird die Einhaltung einer vorgegebenen
Toleranz gefordert.
Beide Kriterien sind unabhängig voneinander.
Besteht die Forderung nach garantierter Genauigkeit für alle Lösungskomponenten, so muß
ein komponentenweises Genauigkeitskriterium festgelegt oder das System vor seiner numerischen Lösung entsprechend skaliert werden.
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