7.5.2. Polynominale Integrationsformel

Polynome in n Variablen sind gut geeignet als Ersatzfunktionen zu dienen, wenn das Approximationsprinzip angewendet wird. Polynome können leicht in geschlossener Form über polyederförmige Integrationsbereiche integriert werden.

7.5.2.1. Interpolatorische Integrationsformeln

wichtigste Eigenschaft ist Genauigkeitsgrad

(Interpolatorische Kubaturformel : Q_N ist eine interpolatorische Kubaturformel, wenn das Gleichungssystem eine eindeutig bestimmt Lösung hat)

Der Genauigkeitsgrad einer n-dimensionalen Integrationsformel Q_N ist D, wenn Q_N alle Polynome in n Variablen vom Grad d<=D exakt integriert und für mindestens ein Polynom vom Grad d=D+1 nicht exakt ist, wenn also die folgende Bezeichnung gilt :

Q_nx^d=I_xd für alle Monome x^d mit deg x^d <= D

Q_nx^d ungleich I_xd für mindestens ein Monom x^d mit deg x^d = D+1 .

7.5.2.2. Interpolatorische Kubaturformel

Bei einer interpolatorischen Kubaturformel muß die Beziehung N<= dim(d,n) erfüllt sein, damit sie mindestens so viele Gleichungen wie Unbekannte enthält.

Für beliebig vorgegebene verschiedene Punkte haben die Momentsgleichungen im allgemeinen keine eindeutige Lösung. Bei der Lösung geht es daher nicht darum, zu gegebenen Abszissen die Gewichte zu bestimmen, sondern es müssen auch geeignete Abszissen ermittelt werden.