Vorwärts und Rückwärtsfehler

Unter Vorwärtsfehler versteht man die Abweichung der berechneten Lösung Y von der exakten Lösung X eines mathematischen Problemes P. Diese Fehlerart beinhaltet nur eventuelle Rechenungenauigkeiten, da nur der Unterschied zwischen den Lösungen der mathematischen Probleme betrachtet wird.

Unter Rückwärtsfehler versteht man hingegen, wie stark sich das Problem Q dessen exakte Lösung Y ist, vom uersprünglich gegebenen Problem P unterscheidet.
Hierbei wird mehr auf Modell- und Datenfehler geachtet, da man zwar eine Lösung für ein Problem hat, aber erst untersucht, ob das gelöste Problem dem eigentlichen Problem ähnlich genug ist um die so gefundene Lösung auf das ursprüngliche Problem übertragen zu können.

Absolute Genauigkeit

Unter dem absoluten Fehler versteht man die Differenz zwischen dem Näherungswert und der exakten Lösung des Problems.

Relative Genauigkeit

Das Problem mit dem absolutem Fehler ist, dass er meist nicht sehr aussagekräftig ist. Deshalb versucht man einen relativen Fehler anzugeben.

Z. B.: 1 Meter absoluter Fehler bei der Berechnung des Abstandes vom Mond zur Erde ist sicher weit geringer als der selbe Fehler bei der Ermittlung deiner Körpergröße!
Es liegt daher nahe, dass man versucht den absoluten Fehler mit dem exakten Wert in Relation zu setzen, und so den relativen Fehler zu ermitteln.
Allerdings wird der exakte Wert wohl nur bei den seltensten realen Problemen zur Verfügung stehen. Daher verwendet man stattdessen eine Bezugsgrösse, die möglichst von der selben Größenordnung wie der exakte Wert sein sollte.

Richtige Stellen

Im Zusammenhang mit relativen Fehlern spricht man oft auch von der Anzahl richtiger Stellen, die ein Näherungswert besitzt. Es handelt sich dabei um die größte Anzahl signifikanter Dezimalstellen in denen R_num und R_exakt nach der Rundung auf m Stellen übereinstimmen.
Man beachte, dass es dabei nicht auf die Übereinstimmung von Ziffern ankommt.

Z. B.: Die Größe R_num = 0.09996 besitzt als Näherungswert für R_exakt = 0.1 vier richtige Stellen, während R_num = 0.09994 in diesm Fall nur drei richtige Stellen hat.

Genauigkeit von Vektoren, Matrizen und Funktionen

Wenn das Berechnungsergebnis keine einzelne Zahl ist, sondern z. B. ein Vektor, wird nicht der absolute Fehler selbst betrachtet (da dieser vom selben Typ wie jene Größe deren Genauigkeit er bezeichnet ist) sondern eine zweckmäßig gewählte Norm des absoluten oder relativen Fehlers.

Das Problem dabei ist, dass dadurch möglicherweise viel Information verloren gehen kann. Deshalb ist die Wahl einer geeigneten Norm von sehr großer Bedeutung!